REPRÉSENTATIONS LISSES DE GL_{m}(D) IV : REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES

par

V. Sécherre & S. Stevens

Résumé. — Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit D une algèbre à division de centre F. Nous prouvons que toute représentation irréductible supercuspidale du groupe GL_{m}(D), de niveau non nul, est l’induite compacte d’une représentation d’un sous-groupe ouvert compact modulo le centre de GL_{m}(D). Plus précisément, nous prouvons que de telles représentations contiennent un type simple maximal au sens de [16].

Abstract. — Let F be a non Archimedean locally compact field and let D be a central F-division algebra. We prove that any positive level supercuspidal irreducible representation of the group GL_{m}(D) is compactly induced from a representation of a compact mod center open subgroup of GL_{m}(D). More precisely, we prove that such representations contain a maximal simple type in the sense of [16].

Introduction

Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien, et soit G une forme intérieure de GL_{n}(F), n ⩾ 1. C’est un groupe de la forme GL_{m}(D), où D est une F-algèbre à division, de dimension d^{2} sur son centre F, et où n = md. Cet article, qui fait suite au travail entrepris par le premier auteur dans [14, 15, 16], met un terme à la classification des blocs simples de la catégorie des représentations lisses complexes de G au moyen de la théorie des types de Bushnell et Kutzko.

Ce travail a bénéficié d’un financement de la part de l’EPSRC (grant GR/T21714/01).

Notre résultat principal peut être formulé ainsi : si ρ est une représentation irréductible supercuspidale de G, alors il existe un type pour la classe inertielle de ρ. En d’autres termes, nous prouvons qu’il existe un sous-groupe ouvert compact J de G et une représentation irréductible λ de J telle que les représentation irréductibles de G dont la restriction à J contient λ sont exactement celles qui sont équivalentes à ρ ⊗ χ pour un caractère non ramifié χ de G. Plus précisément, nous prouvons qu’on peut choisir pour (J, λ) un type simple maximal au sens de [16].

Le problème de la classification des représentations lisses complexes de G par la théorie des types a déjà été abordé par plusieurs auteurs. Bien entendu, il faut mentionner en premier lieu les travaux fondateurs de Bushnell et Kutzko [7, 9] concernant le groupe déployé GL_{n}(F), qui ont donné le ton à tous les trauvaux ultérieurs sur le sujet. Ensuite, les premiers travaux concernant les formes intérieures non déployées de GL_{n}(F) sont ceux de E.-W. Zink [20] et de Broussous [1] : tous deux donnent une classification des représentations de GL_{1}(D), le premier lorsque F est de caractéristique nulle, le second sans restriction sur la caractéristique. Dans [12], Grabitz, Silberger et Zink traitent le cas très particulier du niveau zéro, c’est-à-dire des représentations irréductibles de GL_{m}(D) possédant un vecteur non nul invariant par le sous-groupe 1+M_{m}(𝔭_{D}), où 𝔭_{D} désigne l’idéal maximal de l’anneau des entiers de D. Concernant le cas général, c’est-à-dire les représentations irréductibles de GL_{m}(D) de niveau quelconque, on trouve un certain nombre de résultats dans les travaux de Broussous [2, 3, 4], Broussous-Grabitz [5] et Grabitz [10, 11].

Ce travail — les articles [14, 15, 16] auxquels vient s’ajouter le présent article — suit la méthode générale de construction de types élaborée par Bushnell et Kutzko dans [7] et améliorée dans [8] par la théorie des paires couvrantes. Décrivons-en brièvement l’organisation. On fixe une fois pour toutes une strate simple [𝔄, n, 0, β] de la F-algèbre M_{m}(D) (cf. Définition 1.18). Rappelons simplement ici que β est un élément de M_{m}(D) tel que la F-algèbre E = F[β] soit un corps et que 𝔄 est un 𝒪_{F}-ordre héréditaire de M_{m}(D) normalisé par E^{×}.

REPRÉSENTATIONS SUPERCUSPIDALES DE GL_{m}(D) 3

(i) Dans une première étape ([14]), on associe à la strate simple [𝔄, n, 0, β] un ensemble fini 𝒞 (β, 𝔄) de caractères simples. Il s’agit de caractères définis sur un certain sous-groupe ouvert compact H^{1} = H^{1}(β, 𝔄) de G jouissant de remarquables propriétés de fonctorialité connues sous le nom de propriétés de transfert. Plus précisément, si [𝔄′, n′, 0, β] est n’importe quelle strate simple d’une F-algèbre centrale simple dans laquelle est plongé E, il existe une bijection canonique de 𝒞 (β, 𝔄) sur 𝒞 (β, 𝔄′).

(ii) Dans une seconde étape ([15]), on construit, pour chaque caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 𝔄), une famille finie de β-extensions. Il s’agit de représentations irréductibles d’un sous-groupe ouvert compact J = J(β, 𝔄) de G dont la restriction à H^{1}(β, 𝔄) contient θ et — surtout — dont l’entrelacement est le même que celui de θ.

(iii) Dans une troisième étape ([16]), lorsque 𝔄 est un ordre principal, on construit pour chaque β-extension κ d’un caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 𝔄) une famille finie de types simples. Ce sont des représentations irréductibles de J(β, 𝔄) de la forme κ ⊗ σ, où σ est l’inflation à J(β, 𝔄) d’une représentation irréductible supercuspidale du groupe réductif fini :

J(β, 𝔄)/J^{1}(β, 𝔄) ≃ GL_{s}(k)^{r},

où r, s sont des entiers ⩾ 1 tels que le produit rs divise m, où k est une extension finie du corps résiduel de E et où σ est de la forme σ_{0}^{⊗r}, avec σ_{0} une représentation irréductible supercuspidale de GL_{s}(k). Chaque type simple (J(β, 𝔄), λ) ainsi construit est un type pour une classe inertielle simple de G de la forme [G_{0}^{r}, ρ_{0}^{⊗r}]_{G}, où ρ_{0} est une représentation irréductible supercuspidale du groupe G_{0} = GL_{m/r}(D). L’algèbre de Hecke de G relative à λ est une algèbre de Hecke affine. Plus précisément, elle est isomorphe à l’algèbre de Hecke-Iwahori de GL_{r}(K), où K est une extension non ramifiée de E dont le corps résiduel est une extension de degré s de k.

(iv) La quatrième étape est celle qui occupe le présent article. L’objectif en est l’exhaustion des représentations irréductibles supercuspidales par les types simples. Plus précisément, nous prouvons le résultat suivant (cf. Théorème 5.21) :

Théorème : Soit ρ une représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G. Il existe un type simple maximal (J(β, 𝔄), λ), au sens de [16], tel que la restriction de ρ à J(β, 𝔄) contienne λ.

On en déduit immédiatement, à partir de [16, Théorème 5.6], que si 𝔰 = [G_{0}^{r}, ρ_{0}^{⊗r}]_{G} est une classe inertielle simple de niveau non nul de G, c’est-à-dire que r est un diviseur de m et ρ_{0} une représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul du groupe G_{0} = GL_{m/r}(D), il existe un type simple (J(β, 𝔄), λ) qui est un type pour 𝔰. La structure de l’algèbre de Hecke de G relative à (J(β, 𝔄), λ) est donnée par [16, Théorème 4.6]. Comme mentionné à l’étape (iii), elle est isomorphe à une algèbre de Hecke-Iwahori.

Nous passons maintenant à la description des méthodes utilisées. Notre première tâche — qui est aussi la plus difficile — est de séparer les représentations irréductibles de niveau non nul de G en trois catégories, comme suit (cf. Théorème 3.23) : une représentation irréductible de niveau non nul de G contient ou bien une strate scindée, ou bien un caractère scindé, ou bien un caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 𝔄) pour une strate simple [𝔄, n, 0, β] de A. (On renvoie au §3.6 pour les définitions de strate scindée et de caractère scindé — appelé type scindé dans [7].) Ce travail est déjà amorcé par Broussous [4], qui prouve qu’une représentation irréductible de niveau non nul π de G ne contenant pas de strate scindée contient un caractère simple de niveau m ⩾ 0, c’est-à-dire la restriction d’un caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 𝔄) à un sous-groupe H^{m+1}(β, 𝔄) éventuellement plus petit que H^{1}(β, 𝔄). Si m ⩾ 1, on cherche à construire, en procédant par raffinement comme dans [7], un caractère simple θ′ ∈ 𝒞 (β, 𝔄′) relatif à une autre strate simple [𝔄′, n′, 0, β] de A, contenu dans π à un niveau (normalisé) strictement moindre. Mais, contrairement à ce qui se passe dans le cas déployé, il n’est pas possible de passer de θ à θ′ en une seule étape — techniquement, c’est [7, Proposition 1.2.8] qui fait défaut : voir [16, §1.5.3]. En découpant le segment [𝔄, 𝔄′] dans l’immeuble de Bruhat-Tits de G en morceaux suffisamment petits (cf. §3.5, Hypothèse (H)), on obtient le résultat crucial 3.15, clef du processus de raffinement et analogue de [19, Lemma 5.4]. Tout ceci est assez technique et nécessite :

(i) d’employer le langage des suites de réseaux, plus général que celui des ordres héréditaires et qui permet une description des points rationnels de l’immeuble de Bruhat-Tits de G (cf. [2]) ;

(ii) de définir les caractères simples relatifs à une suite de réseaux et d’étendre le transfert des caractères simples à ce cadre : c’est l’objet de la section 2 de cet article ;

(iii) de généraliser la notion de strate dérivée (cf. Définition 3.21), conduisant elle-même à celle de caractère scindé (cf. Définition 3.22).

Mentionnons un point important : l’introduction des caractères simples relatifs à une suite de réseaux a ceci de gênant que les niveaux normalisés deviennent des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas borné — ce qui risquerait d’empêcher le processus de raffinement de terminer. Il est donc indispensable de vérifier que l’on passe de θ à un caractère simple θ′ qui, lui, est relatif à un ordre héréditaire, même si les étapes intermédiaires peuvent mettre en jeu des caractères simples relatifs à des suites de réseaux quelconques. Ceci justifie le théorème 1.7, et tous les résultats préparatoires des §§3.1–3.3.

Remarquons également que la distinction entre strate scindée et caractère scindé est assez superficielle : c’est à peu près la même que celle que l’on fait entre types simples de niveau 0 et de niveau > 0.

Notre seconde tâche, qui occupe la section 4, est de montrer qu’une représentation irréductible de niveau non nul de G contenant une strate scindée ou un caractère scindé a un module de Jacquet non trivial. Ceci implique automatiquement que toute représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G contient un caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 𝔄) pour une strate simple [𝔄, n, 0, β] de A. Pour aboutir au théorème 5.21, il reste alors à décrire le passage de H^{1} à J, ce qui fait l’objet de la section 5. Une représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G contient a priori une représentation irréductible de J de la forme ϑ = κ ⊗ σ, où σ est l’inflation à J d’une représentation irréductible de J/J^{1}. En s’inspirant de [12, §1], et en utilisant la notion de cohérence déjà largement développée dans [15, 16], on montre que ϑ est un type simple maximal, c’est-à-dire que 𝔄 est principal, que σ est cuspidale de la forme σ_{0}^{⊗r} et que 𝔄 ∩ B est un ordre maximal de B.

Nous terminons cette introduction en mentionnant deux problèmes qui restent à traiter au sujet des représentations lisses de G : (i) la construction d’endoclasses et (ii) la construction de types pour n’importe quelle classe inertielle de G. Le premier revient essentiellement à prouver un résultat de type “entrelacement implique conjugaison” pour les caractères simples : si deux caractères simples θ_{1} ∈ 𝒞 (𝔄, m_{1}, β_{1}) et θ_{2} ∈ 𝒞 (𝔄, m_{2}, β_{2}) s’entrelacent dans G, alors ils sont conjugués sous G. Le second revient, de façon analogue à [9], à construire des types semi-simples pour G.

Notations et conventions

Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien. Toutes les F-algèbres sont supposées unitaires et de dimension finie. Par F-algèbre à division on entend F-algèbre centrale dont l’anneau sous-jacent est un corps (pas nécessairement commutatif).

Si K est une extension finie de F, ou plus généralement une algèbre à division sur une extension finie de F, on note 𝒪_{K} son anneau d’entiers, 𝔭_{K} son idéal maximal et k_{K} son corps résiduel.

Si A est une algèbre centrale simple sur une extension finie K de F, on note N_{A/K} (resp. tr_{A/K}) la norme (resp. la trace) réduite de A sur K.

Si u est un nombre réel, on note ⌈u⌉ le plus petit entier ⩾ u et ⌊u⌋ le plus grand entier ⩽ u, c’est-à-dire la partie entière de u.

Un caractère d’un groupe topologique G est un homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif ℂ^{×} du corps des nombres complexes.

Toutes les représentations sont supposées lisses et à coefficients complexes.

1. Préliminaires

Dans cette section, on rappelle le langage des strates dans une F-algèbre centrale simple. Pour plus de détails, on renvoie le lecteur à [4, 7, 9, 14].

1.1. — Soit A une F-algèbre centrale simple, et soit V un A-module à gauche simple. L’algèbre End_{A}(V) est une F-algèbre à division dont l’algèbre opposée est notée D. Aussi V est-il un D-espace vectoriel à droite, et on a un isomorphisme canonique de F-algèbres entre A et End_{D}(V).

Définition 1.1. — Une 𝒪_{D}-suite de réseaux de V est une suite décroissante Λ = (Λ_{k})_{k∈ℤ} de 𝒪_{D}-réseaux de V pour laquelle il existe un entier e ⩾ 1 tel que, pour tout k ∈ ℤ, on ait Λ_{k+e} = Λ_{k}𝔭_{D}. Cet entier e, unique, est appelé la période de Λ sur 𝒪_{D} et noté e(Λ|𝒪_{D}).

Une 𝒪_{D}-suite de réseaux est dite stricte si elle est strictement décroissante. On emploie aussi le terme de chaîne de réseaux pour suite de réseaux stricte. On note ℒ (V, 𝒪_{D}) l’ensemble des 𝒪_{D}-suites de réseaux de V.

Si W est un sous-D-espace vectoriel de V, l’application k ↦ Λ_{k} ∩ W est une 𝒪_{D}-suite de réseaux de W de même période que Λ. On la note Λ ∩ W.

Si a est un entier ⩾ 1 et si Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}), on note aΛ la suite k ↦ Λ_{⌈k/a⌉}.

Remarque 1.2. — Il est commode de prolonger les suites de réseaux à ℝ tout entier, en posant Λ_{x} = Λ_{⌈x⌉} pour x ∈ ℝ. De cette façon, Λ devient une fonction décroissante à valeurs dans l’ensemble des 𝒪_{D}-réseaux de V, continue à gauche pour la topologie discrète sur l’espace d’arrivée. Ses points de discontinuité sont entiers. L’application x ↦ Λ(xe(Λ|𝒪_{F})), définie sur ℝ, est une 𝒪_{D}-fonc-tion de réseaux au sens de [2].

1.2. — À toute suite de réseaux Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) on associe une suite de réseaux 𝔞(Λ) ∈ ℒ (A, 𝒪_{F}) définie par :

𝔞_{k}(Λ) = {a ∈ A | aΛ_{l} ⊂ Λ_{l+k}, l ∈ ℤ}, k ∈ ℤ.

Elle caractérise la classe de translation de Λ. Deux 𝒪_{F}-réseaux de cette suite sont d’une importance particulière : 𝔄(Λ) = 𝔞_{0}(Λ) est un ordre héréditaire de A, et son radical de Jacobson est 𝔓(Λ) = 𝔞_{1}(Λ). Ils ne dépendent que de l’ensemble {Λ_{k} | k ∈ ℤ}.

On note 𝔎(Λ) le normalisateur de Λ dans A^{×}. Si g ∈ 𝔎(Λ), on note υ_{Λ}(g) l’entier n ∈ ℤ défini par g(Λ_{k}) = Λ_{k+n}. L’application υ_{Λ} est un morphisme de groupes de 𝔎(Λ) dans ℤ, dont le noyau, noté U(Λ), est le groupe multiplicatif de l’ordre héréditaire 𝔄(Λ). On pose U_{0}(Λ) = U(Λ) et, pour k ⩾ 1, on pose U_{k}(Λ) = 1 + 𝔞_{k}(Λ).

1.3. — Soit E une extension finie de F telle qu’il existe un homomorphisme de F-algèbres ι : E → A, qu’on suppose fixé dans la suite. On identifie ainsi E à la sous-F-algèbre ιE de A.

Définition 1.3. — Une suite Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) est dite E-pure si elle est normalisée par E^{×}, c’est-à-dire si c’est une 𝒪_{E}-suite de réseaux de V.

Le commutant de E dans A, qu’on note B, est une E-algèbre centrale simple. On fixe un B-module à gauche simple V_{E} et on note D_{E} l’algèbre opposée à End_{B}(V_{E}). Si Γ est une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux de V_{E}, on note 𝔟(Γ) la 𝒪_{E}-suite de réseaux de B qu’elle définit.

Le théorème suivant traduit en termes de suites de réseaux la correspondance [2] entre 𝒪_{D}-fonctions de réseaux de V invariantes par E^{×} et 𝒪_{D_{E}}-fonctions de réseaux de V_{E}. Il étend aux suites E-pures quelconques la correspondance définie par [3, Théorème 1.3].

Théorème 1.4. — Soit Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) une suite E-pure. Il existe une 𝒪_{D_{E}}- suite Γ de réseaux de V_{E}, unique à translation près, telle que :

𝔞_{k}(Λ) ∩ B = 𝔟_{k}(Γ), k ∈ ℤ.

Le normalisateur de Γ dans B^{×} est égal à 𝔎(Λ) ∩ B^{×}.

Démonstration. — On se réfère à [2], qui utilise le langage des fonctions de réseaux. On désigne par d le degré réduit de D sur F, par e l’indice de ramification de E/F et par r la période de Λ sur 𝒪_{D}. À la suite Λ correspond la 𝒪_{D}-fonction ℱ : x ↦ Λ(rdx) (cf. Remarque 1.2). Il lui correspond une 𝒪_{D_{E}}-fonction 𝒢 de réseaux de V_{E}, unique à translation près, telle que :

(1.1)  𝔞_{x}(ℱ) ∩ B = 𝔟_{ex}(𝒢), x ∈ ℝ

(cf. [2, Theorem II.1.1]). On note d_{E} le degré réduit de D_{E} sur E. C’est un diviseur de d, et le quotient de d par d_{E} est égal au pgcd de d et [E : F] (voir par exemple [21]). Puisque Λ est E-pure, l’entier e divise rd, donc ed_{E} divise rd. On en déduit que Γ : k ↦ 𝒢 (ke/rd) est une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux de V_{E} qui satisfait à la condition voulue. L’unicité est immédiate.

Remarque 1.5. — En particulier, l’intersection 𝔅(Λ) = 𝔄(Λ) ∩ B est un ordre héréditaire de B.

1.4. — L’inconvénient de la correspondance Λ ↦ Γ définie par le théorème 1.4 est qu’elle n’est pas normalisée, ce qui fait que son image ne contient pas, en général, toutes les 𝒪_{D_{E}}-chaînes.

Exemple 1.6. — Soit A = M_{2}(D) et soit E/F une extension quadratique non ramifiée incluse dans D. Une chaîne E-pure de période 2 a pour image une suite non stricte (de période 4), une chaîne E-pure de période 1 a pour image une suite de période 2, et une suite E-pure non stricte a pour image une suite non stricte. Donc, si Γ est une 𝒪_{D_{E}}-chaîne de période 1, il ne lui correspond aucune 𝒪_{D}-suite E-pure Λ.

Si l’on veut récupérer toutes les 𝒪_{D_{E}}-chaînes, il est nécessaire de rajouter un facteur de normalisation. Le résultat suivant complète [2, Proposition II.5.4].

Théorème 1.7. — Soit Γ une 𝒪_{D_{E}}-suite stricte de V_{E}. Il existe un unique entier ρ ⩾ 1 et une suite Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) stricte et E-pure, unique à translation près, tels que :

𝔞_{k}(Λ) ∩ B = 𝔟_{k/ρ}(Γ), k ∈ ℤ.

Le normalisateur de Γ dans B^{×} est égal à 𝔎(Λ) ∩ B^{×}.

Remarque 1.8. — Autrement dit, il existe un unique entier ρ tel que ρΓ soit dans l’image de la correspondance définie par le théorème 1.4 et ait une chaîne pour antécédent.

Démonstration. — On reprend en partie les notations de la preuve précédente. On note s le pgcd de d et du degré résiduel de E/F et r la période de Γ sur 𝒪_{E}. À la suite Γ correspond la 𝒪_{D_{E}}-fonction 𝒢 : x ↦ Γ(rx). L’ensemble de ses points de discontinuité est r^{−1}ℤ. Il lui correspond une 𝒪_{D}-fonction E-pure ℱ de réseaux de V, unique à translation près, vérifiant (1.1). Plus précisément, la fonction ℱ est définie en [2, Lemma II.3.1], où l’on voit que ses points de discontinuité sont les nombres réels de la forme :

\frac{a}{d} + \frac{b}{er}, 0 ⩽ a ⩽ s − 1 et b ∈ ℤ.

On va voir qu’ils forment un idéal fractionnaire de ℤ. Le quotient de d par d_{E} divise se. On en déduit que l’ensemble des points de discontinuité de ℱ est :

\frac{1}{d}ℤ + \frac{1}{er}ℤ = \frac{(d, er)}{der}ℤ,

où (a, b) désigne le pgcd de deux entiers ⩾ 1. Si on pose ρ = d/(d, er), l’application Λ : k ↦ ℱ (k/ρer) est une 𝒪_{D}-suite de réseaux stricte qui répond à la question.

Il reste à prouver l’unicité. Si le couple (ρ′, Λ′) est une autre solution, alors 𝔞_{k}(ρΛ′) ∩ B = 𝔞_{k}(ρ′Λ) ∩ B pour k ∈ ℤ. Les suites ρ′Λ et ρΛ′ définissent la même fonction de réseaux ℱ et ont la même période : elles sont donc dans la même classe de translation. Puisque Λ et Λ′ sont toutes les deux strictes, on en déduit que ρ = ρ′, puis que Λ et Λ′ sont dans la même classe de translation.

Exemple 1.9. — (i) On reprend l’exemple 1.6. Si Γ est une chaîne de période 2, alors Λ est de période 1 et ρ = 1. Si Γ est une chaîne de période 1, alors Λ est de période 1 et ρ = 2.

(ii) Dans le cas déployé, c’est-à-dire lorsque D = F, la chaîne Λ est simplement Γ vue comme une 𝒪_{F}-chaîne et on a ρ = 1.

Remarque 1.10. — L’entier ρ est égal au rapport de e(Λ|𝒪_{F}) sur e(Γ|𝒪_{F}).

1.5. — Soit :

(1.2)  V = V^{1} ⊕ … ⊕ V^{l}

une décomposition de V en une somme directe de l ⩾ 1 sous-D-espaces vectoriels. Pour chaque 1 ⩽ i ⩽ l, on note e^{i} le projecteur sur V^{i} parallèlement à ⨁_{j≠i} V^{j}. On pose A^{ij} = e^{i}Ae^{j} = Hom_{D}(V^{j}, V^{i}) et A^{i} = A^{ii} = End_{D}(V^{i}). On note :

M = Aut_{D}(V^{1}) × … × Aut_{D}(V^{l})

le stabilisateur de la décomposition (1.2) dans A^{×}. C’est un sous-groupe de Levi de A^{×}. Soit P un sous-groupe parabolique de A^{×} de facteur de Levi M, et écrivons P = MN, où N est le radical unipotent de P. On note P^{−} le sous-groupe parabolique opposé à P, et N^{−} son radical unipotent.

Définition 1.11 ([8], 6.1). — Soit K un sous-groupe de A^{×}.

(i) On dit que K est décomposé, ou qu’il admet une décomposition d’Iwahori, relativement à (M, P), si :

K = (K ∩ N^{−}) · (K ∩ M) · (K ∩ N).

(ii) Soit τ une représentation de K. La paire (K, τ) est dite décomposée relativement à (M, P) si K est décomposé relativement à (M, P) et si K ∩ N, K ∩ N^{−} sont dans le noyau de τ.

On utilisera le lemme suivant pour prouver que certains sous-groupes de A^{×} admettent une décomposition d’Iwahori.

Lemme 1.12 ([6], 10.4). — Soit R un 𝒪_{F}-réseau dans A tel que 1 + R soit un sous-groupe de A^{×}. On suppose que e^{i}Re^{j} ⊂ R pour chaque paire (i, j). Alors 1 + R admet une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour tout sous-groupe parabolique P de A^{×} de facteur de Levi M.

Soit Λ une 𝒪_{D}-suite de réseaux de V. Pour chaque i, on pose Λ^{i} = Λ ∩ V^{i}.

Définition 1.13. — On dit que (1.2) est conforme à Λ, ou encore que Λ est décomposée par (1.2), si :

(1.3)  Λ = Λ^{1} ⊕ … ⊕ Λ^{l}.

Une décomposition (1.2) est conforme à Λ si, et seulement si e^{i} ∈ 𝔄(Λ) pour chaque i. Dans ce cas, on a Λ^{i} = e^{i}Λ et 𝔞(Λ) ∩ A^{i} = 𝔞(Λ^{i}).

Exemple 1.14. — On suppose que (1.2) est conforme à Λ. Pour k ⩾ 1, le groupe U_{k}(Λ) admet une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour tout sous-groupe parabolique P de A^{×} de facteur de Levi M.

1.6. — Soit A une F-algèbre centrale simple, soit V un A-module à gauche simple et soit D l’algèbre opposée à End_{A}(V). On reprend les notations des paragraphes précédents.

Définition 1.15. — Une strate de A est un quadruplet [Λ, n, r, β] constitué d’une 𝒪_{D}-suite Λ de V, de deux entiers r, n vérifiant 0 ⩽ r ⩽ n − 1 et d’un élément β ∈ 𝔞_{−n}(Λ). Deux strates [Λ, n, r, β_{i}], i ∈ {1, 2}, sont dites équivalentes si β_{2} − β_{1} ∈ 𝔞_{−r}(Λ).

Exemple 1.16. — Soit un caractère additif ψ_{F} : F → ℂ^{×} trivial sur 𝔭_{F} mais pas sur 𝒪_{F}. Soit [Λ, n, r, β] une strate de A telle que ⌊n/2⌋ ⩽ r. Le caractère ψ_{β} de U_{r+1}(Λ) défini par :

ψ_{β} : x ↦ ψ_{F} ∘ tr_{A/F}(β(x − 1)),

ne dépend que de la classe d’équivalence de [Λ, n, r, β].

Étant donnée une strate [Λ, n, r, β] de A, on note E la F-algèbre engendrée par β.

Définition 1.17. — La strate [Λ, n, r, β] est dite pure si E est un corps, si la suite Λ est normalisée par E^{×} et si υ_{Λ}(β) = −n.

Soit [Λ, n, r, β] une strate pure. On note B le commutant de E dans A. Pour tout entier k ∈ ℤ, on pose :

𝔫_{k}(β, Λ) = {x ∈ 𝔞_{0}(Λ) | βx − xβ ∈ 𝔞_{k}(Λ)}.

Le plus petit entier k ⩾ υ_{Λ}(β) pour lequel le réseau 𝔫_{k+1}(β, Λ) est inclus dans 𝔞_{0}(Λ) ∩ B + 𝔞_{1}(Λ) est noté k_{0}(β, Λ) et porte le nom d’exposant critique de la strate [Λ, n, r, β]. (Il s’agit de la convention adoptée dans [19] : dans le cas où E = F, on a k_{0}(β, Λ) = −n, tandis qu’avec la convention d’usage dans [7, 14], on aurait k_{0}(β, Λ) = −∞.)

Définition 1.18. — La strate [Λ, n, r, β] est dite simple si elle est pure et si r ⩽ −k_{0}(β, Λ) − 1.

1.7. — Soit [Λ, n, r, β] une strate simple de A. On pose q = −k_{0}(β, Λ).

Définition 1.19. — (i) Si q = n, on dit que β est minimal sur F.

(ii) Si q ⩽ n − 1, une approximation de β relativement à Λ est un élément γ ∈ A tel que [Λ, n, q, γ] soit une strate simple équivalente à [Λ, n, q, β].

Selon [16, Théorème 2.2], un élément β qui n’est pas minimal sur F admet des approximations relativement à n’importe quelle suite de réseaux E-pure, et on peut même choisir γ de façon que la sous-extension non ramifiée maximale de F(γ) soit incluse dans E. (Par exemple, si E/F est non ramifiée, on peut choisir γ ∈ E.) Ceci permet d’avoir accès à la machinerie, développée dans [7], des constructions par récurrence sur l’exposant critique.

Proposition 1.20. — Soit V = V^{1} ⊕ … ⊕ V^{l} une décomposition de V en sous-E ⊗_{F} D-modules, qui soit conforme à Λ.

(i) Pour tout 1 ⩽ i ⩽ l, la strate [Λ^{i}, n, r, e^{i}β] est une strate simple de A^{i}. (ii) Si β n’est pas minimal sur F, il existe une approximation de β relative-

ment à Λ commutant aux e^{i}.

Démonstration. — Pour le (i), voir [14, Proposition 2.28]. Pour le (ii), c’est ce que dit la preuve de [16, Théorème 2.2] (voir aussi ibid., §1.3).

1.8. — Soit (k, β) une paire simple sur F au sens de [6], et soit E = F(β). On appelle donnée admissible pour la paire (k, β) un quintuplet (A, ι, V, Λ, m) constitué d’une F-algèbre centrale simple A, d’un plongement de F-algèbres ι : E → A, d’un A-module à gauche simple V, d’une 𝒪_{D}-suite E-pure Λ de réseaux de V et d’un entier m vérifiant :

⌊\frac{m}{e(Λ|𝒪_{E})} ⌋ = k.

On pose n = −v_{Λ}(ιβ). D’après [14, §2.3.3], la strate [Λ, n, m, ιβ] est une strate simple de A.

Définition 1.21. — La strate simple [Λ, n, m, ιβ] est appelé une réalisation de la paire simple (k, β).

2. Caractères simples

Soit A une F-algèbre centrale simple. Dans cette section, on associe à toute strate simple [Λ, n, m, β] de A un ensemble 𝒞 (Λ, m, β) de caractères simples, jouissant de propriétés remarquables de transfert et d’entrelacement. Cette construction généralise les constructions effectuées dans [9, 14, 19] lorsque A est déployée (c’est-à-dire lorsque D = F) et celles effectuées dans [10, 14] lorsque Λ est une 𝒪_{D}-chaîne de réseaux.

L’idée suivie est la même que dans [9] : on rajoute à Λ une 𝒪_{D}-chaîne Λ^{∘} d’un D-espace vectoriel adéquat V^{∘}, et on définit 𝒞 (Λ, m, β) comme la projection de 𝒞 (Λ ⊕ Λ^{∘}, m, β) sur le facteur Aut_{D}(V).

On fixe une fois pour toutes un caractère additif ψ_{F} : F → ℂ^{×} trivial sur 𝔭_{F} mais pas sur 𝒪_{F}. Toutes les constructions de caractères simples dépendent du choix de ψ_{F}.

2.1. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A et soit q = −k_{0}(β, Λ). Dans ce paragraphe et le suivant, on suppose que Λ est stricte. Dans [14], on associe à une telle strate les objets suivants :

(i) Deux sous-𝒪_{F}-ordres 𝔍(β, Λ) et ℌ(β, Λ) de 𝔄(Λ). Ils ne dépendent que de la classe d’équivalence de [Λ, n, 0, β]. Chacun d’eux est filtré par une suite décroissante d’idéaux bilatères :

𝔍^{k}(β, Λ) = 𝔍(β, Λ) ∩ 𝔞_{k}(Λ),
ℌ^{k}(β, Λ) = ℌ(β, Λ) ∩ 𝔞_{k}(Λ), k ⩾ 0.

Ces idéaux bilatères sont en particulier (avec les notations du §1.3) des sous-𝔅(Λ)-bimodules de A. On note J(β, Λ) (resp. H(β, Λ)) le groupe multiplicatif de 𝔍(β, Λ) (resp. de ℌ(β, Λ)). De façon similaire, chacun d’eux est filtré par une suite décroissante de sous-groupes ouverts compacts :

J^{k}(β, Λ) = J(β, Λ) ∩ U_{k}(Λ),
H^{k}(β, Λ) = H(β, Λ) ∩ U_{k}(Λ), k ⩾ 0.

(ii) Pour tout entier 0 ⩽ m ⩽ q − 1, un ensemble fini 𝒞 (Λ, m, β) de caractères de H^{m+1}(β, Λ) appelés caractères simples de niveau m. Ces caractères vérifient une propriété de fonctorialité appelée propriété de transfert, dont l’établissement était l’un des principaux objectifs de [14]. On reviendra largement dessus plus bas.

2.2. — Dans ce paragraphe, on décrit, pour Λ stricte, le comportement de 𝒞 (Λ, m, β) par passage à une strate simple équivalente, puis par augmentation du niveau. On pose r = ⌊q/2⌋ + 1.

Proposition 2.1. — Soit un entier 0 ⩽ l ⩽ q, et soit [Λ, n, l, γ] une strate simple équivalente à [Λ, n, l, β]. L’application θ ↦ θψ_{γ−β} induit des bijections :

𝒞 (Λ, m, β) → 𝒞 (Λ, m, γ), ⌊l/2⌋ ⩽ m ⩽ q − 1.

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7], corollaire 3.3.18 si l = q, et corollaire 3.3.20(ii) si l ≠ q. Dans les deux cas, il suffit de remplacer [7, Proposition 3.3.9] par la proposition [14, 3.30] et [7, Proposition 2.4.11] par [10, Lemma 1.9].

Proposition 2.2. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A.

(i) On suppose que m ⩽ ⌊q/2⌋. Si deux caractères de 𝒞 (Λ, m, β) coïncident sur H^{r}(β, Λ), ils sont tordus l’un l’autre par un caractère de U_{m+1}(Λ) ∩ B^{×} trivial sur U_{r}(Λ) ∩ B^{×} et se factorisant par N_{B/E}.

(ii) On suppose que m ⩽ q−2. La restriction de 𝒞 (Λ, m, β) à 𝒞 (Λ, m+1, β) est surjective.

Démonstration. — Le (i) est une conséquence de [14, Lemme 3.24]. Pour le (ii), on procède par récurrence comme pour [7, Corollary 3.3.21]. Si q = n, on sépare deux cas. Pour ⌊n/2⌋ ⩽ m, on a :

(2.1)  𝒞 (Λ, m, β) = {ψ_{β}}

(cf. [14, Lemme 3.23]). Pour m ⩽ ⌊n/2⌋, on utilise (i). Ensuite, si q ⩽ n − 1, on choisit une strate simple [Λ, n, q, γ] équivalente à [Λ, n, q, β] et on applique la proposition 2.1.

2.3. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. Maintenant, Λ est une 𝒪_{D}- suite quelconque. On note e sa période sur 𝒪_{D} et on pose q = −k_{0}(β, Λ).

Soit (V^{∘}, Λ^{∘}) un couple constitué d’un E ⊗_{F} D-module de type fini V^{∘} et d’une 𝒪_{D}-suite stricte E-pure Λ^{∘} de réseaux de V^{∘}, de période e. On pose :

(2.2)  V̄ = V ⊕ V^{∘}, Λ̄ = Λ ⊕ Λ^{∘}.

La F-algèbre E se plonge naturellement dans Ā = End_{D}(V̄) et Λ̄ est une 𝒪_{D}- suite stricte E-pure de réseaux de V̄. La strate [Λ̄, n, 0, β] est une strate simple de Ā. (On renvoie à [9, §5] pour ce procédé.)

On note B̄ le commutant de E dans Ā. Par construction, la décomposition (2.2) est une décomposition de V̄ en E ⊗ D-modules, qui est conforme à Λ, c’est-à-dire que les projecteurs e : V̄ → V et e^{∘} : V̄ → V^{∘} appartiennent tous deux à 𝔅(Λ̄) = 𝔄(Λ̄) ∩ B̄.

On pose :

M = Aut_{D}(V) × Aut_{D}(V^{∘}).

Pour k ⩾ 1, les 𝒪_{F}-réseaux 𝔍^{k}(β, Λ̄) et ℌ^{k}(β, Λ̄) sont des sous-𝔅(Λ̄)-bimodules de Ā. D’après le lemme 1.12, les groupes J^{k}(β, Λ̄), H^{k}(β, Λ̄) admettent chacun une décomposition d’Iwahori relativement à (M, P), pour tout sous-groupe parabolique P de Aut_{D}(V̄) de facteur de Levi M.

On pose enfin G = A^{×} et Ḡ = Ā^{×}.

Théorème 2.3. — On suppose que Λ est stricte.

(i) Pour k ⩾ 0, on a J^{k}(β, Λ̄) ∩ G = J^{k}(β, Λ) et H^{k}(β, Λ̄) ∩ G = H^{k}(β, Λ). (ii) Pour 0 ⩽ m ⩽ q − 1 et pour θ ∈ 𝒞 (Λ̄, m, β), la paire (H^{m+1}(β, Λ̄), θ) est

décomposée par (M, P) pour tout sous-groupe parabolique P de Ḡ de facteur de Levi M, et la restriction de θ à H^{m+1}(β, Λ) est égale au transfert de θ à 𝒞 (Λ, m, β).

Démonstration. — La preuve est analogue à celles de [7, Proposition 7.1.12] et [7, Proposition 7.1.19]. Dans le cas où q ⩽ n − 1, il suffit de choisir une approximation de β commutant à e et e^{∘} (cf. Proposition 1.20(ii)) et, pour le (ii), on peut remplacer [7, Corollary 3.3.21] par la proposition 2.2.

Remarque 2.4. — On a en fait un résultat un peu plus général que 2.3(i). L’analogue de [7, Proposition 7.1.12] est :

𝔍^{k}(β, Λ̄) ∩ A = 𝔍^{k}(β, Λ),
ℌ^{k}(β, Λ̄) ∩ A = ℌ^{k}(β, Λ), k ⩾ 0.

On vérifie également que 𝔫_{k}(β, Λ̄) ∩ A = 𝔫_{k}(β, Λ), pour k ∈ ℤ.

2.4. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A, et soit Λ̄ défini comme dans la section précédente. On lui associe deux 𝒪_{F}-ordres :

𝔍(β, Λ) = 𝔍(β, Λ̄) ∩ A,
ℌ(β, Λ) = ℌ(β, Λ̄) ∩ A.

De façon similaire au §2.1, chacun d’eux est filtré par une suite décroissante d’idéaux bilatères 𝔍^{k}(β, Λ) et ℌ^{k}(β, Λ). Ces idéaux bilatères sont en particulier des sous-𝔅(Λ)-bimodules de A.

On note J(β, Λ) (resp. H(β, Λ)) le groupe multiplicatif de 𝔍(β, Λ) (resp. de ℌ(β, Λ)), et chacun d’eux est filtré par une suite décroissante de sous-groupes ouverts compacts J^{k}(β, Λ), H^{k}(β, Λ). Si aucune confusion n’en résulte, on notera J^{k} plutôt que J^{k}(β, Λ). La même remarque vaut pour 𝔍^{k}(β, Λ), ℌ^{k}(β, Λ) et H^{k}(β, Λ).

Proposition 2.5. — Pour k ⩾ 0, les groupes J^{k} et H^{k} sont normalisés par J et 𝔎(Λ) ∩ B^{×}.

Démonstration. — C’est une conséquence de [14, Proposition 3.43].

Définition 2.6. — Pour un entier 0 ⩽ m ⩽ q−1, on appelle caractère simple de niveau m attaché à la strate simple [Λ, n, 0, β] la restriction à H^{m+1}(β, Λ) d’un caractère simple de 𝒞 (Λ̄, m, β). Ces caractères forment un ensemble noté 𝒞 (Λ, m, β).

D’après le théorème 2.3, (voir aussi la remarque 2.4), cette définition coïncide avec celle de [14, §3.3] lorsque Λ est stricte. Dans le cas contraire, elle dépend a priori de (V^{∘}, Λ^{∘}). On va voir que ce n’est pas le cas.

Proposition 2.7. — Les groupes H^{k}(β, Λ) et J^{k}(β, Λ), ainsi que l’ensemble 𝒞 (Λ, m, β), sont indépendants du choix de (V^{∘}, Λ^{∘}).

Démonstration. — Soit (V^{•}, Λ^{•}) un autre couple comme au §2.3. On pose Λ^{†} = Λ ⊕ Λ^{∘} ⊕ Λ^{•}. On note R^{∘} la restriction de H^{m+1}(β, Λ ⊕ Λ^{∘}) à H^{m+1}(β, Λ) et S^{∘} la restriction de H^{m+1}(β, Λ^{†}) à H^{m+1}(β, Λ ⊕ Λ^{∘}). On définit R^{•} et S^{•} de façon analogue en substituant Λ^{•} à Λ^{∘}. D’après le théorème 2.3(ii), et puisque les applications de transfert sont surjectives, on peut écrire 𝒞 (Λ, m, β) comme l’image de 𝒞 (Λ^{†}, m, β) par R^{∘} ∘ S^{∘} = R^{•} ∘ S^{•}. Ceci prouve que 𝒞 (Λ, m, β), et a fortiori H^{m+1}(β, Λ), sont indépendants du choix de (V^{∘}, Λ^{∘}) pour un entier 0 ⩽ m ⩽ q − 1.

Pour H^{k}(β, Λ) et J^{k}(β, Λ), avec k ⩾ 1, on raisonne de façon analogue à partir du point (i) du théorème 2.3.

2.5. — On rappelle brièvement le procédé de changement de base non ramifié décrit en détail dans [14]. Soit L/F une extension non ramifiée maximale dans D. La L-algèbre A ⊗_{F} L est centrale simple déployée, et s’identifie canoniquement à End_{L}(V). On note Λ_{L} la suite Λ vue comme une 𝒪_{L}-suite de réseaux de V. On a une décomposition :

E ⊗_{F} L = E^{1} ⊕ … ⊕ E^{l}

de la L-algèbre E ⊗_{F} L en une somme finie de l ⩾ 1 extensions de L, où l est le pgcd de [L : F] et du degré résiduel de E/F. On note e^{i} l’idempotent de E ⊗_{F} L correspondant à la projection sur E^{i}, ce qui définit une décomposition de V en une somme de E ⊗_{F} L-modules V^{i} = e^{i}V, qui est conforme à Λ_{L}. On pose Λ_{L}^{i} = e^{i}Λ_{L} et β^{i} = e^{i}β. Le résultat suivant vient de [14] (cf. §2.3.4) :

Théorème 2.8. — [Λ_{L}^{i}, n, m, β^{i}] est une strate simple de End_{L}(V^{i}).

Remarque 2.9. — Signalons une erreur dans la preuve qui en est donnée dans [14] (cf. Théorème 2.30). Avec les notations de loc. cit., on n’a pas en général égalité entre k_{0}(e^{i}β, Λ^{i}) et k_{0}(e^{i}β, Λ̄^{i}) (le corollaire 2.21 ne s’applique pas à e^{i}β). Par contre, puisque le réseau 𝔫_{k}(e^{i}β, Λ̄^{i})∩A^{i} est égal à 𝔫_{k}(e^{i}β, e^{i}Λ) (cf. Proposition 2.20), on a k_{0}(e^{i}β, Λ^{i}) ⩽ k_{0}(e^{i}β, Λ̄^{i}), ce qui suffit pour conclure. Voici un cas où l’égalité n’a pas lieu. Choisissons par exemple E/F non ramifiée, β non minimal sur F (i.e. q ≠ n) et L contenant E. Alors chaque E^{i} est de degré 1 sur L, c’est-à-dire que β^{i} est scalaire, donc minimal sur L.

2.6. — Dans ce paragraphe, on étend le transfert aux caractères simples attachés à une suite de réseaux (cf. §2.4).

Proposition 2.10. — La restriction de H^{m+1}(β, Λ̄) à H^{m+1}(β, Λ) induit une bijection de 𝒞 (Λ̄, m, β) sur 𝒞 (Λ, m, β).

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [14, Théorème 3.12]. Il suffit de remplacer [7, Proposition 3.2.4] par (2.1) et [7, Proposition 3.2.5] par la proposition 2.2(i) et, dans le cas où q ⩽ n − 1, de choisir une approximation de β commutant à e et e^{∘} (cf. Proposition 1.20(ii)).

Soit (k, β) une paire simple sur F et soit E = F(β) (cf. §1.8). On note [k, β] la strate simple de End_{F}(E) correspondant à (k, β), c’est-à-dire correspondant à l’unique ordre héréditaire de End_{F}(E) normalisé par E^{×} (voir par exemple [14, §2.3.3]), et on note 𝒞 (k, β) l’ensemble des caractères simples (de niveau k) attaché à la strate simple [k, β].

Soit [Λ, n, m, ιβ] une réalisation de (k, β) dans A. Lorsque la suite Λ est stricte, on a une bijection canonique de 𝒞 (k, β) dans 𝒞 (Λ, m, ιβ) appelée application de transfert (cf. [14, §3.3.3]) et notée τ_{Λ,m,ιβ}. Lorsque Λ est quelconque, on pose la définition suivante.

Définition 2.11. — L’application de transfert de 𝒞 (k, β) à 𝒞 (Λ, m, ιβ) est l’application bijective composée de τ_{Λ̄,m,ιβ} avec la restriction de H^{m+1}(ιβ, Λ̄) à H^{m+1}(ιβ, Λ). On la note τ_{Λ,m,ιβ}.

D’après le théorème 2.3, cette définition du transfert coïncide avec celle de [14, §3.3] lorsque Λ est stricte. Dans le cas contraire, elle dépend a priori de (V^{∘}, Λ^{∘}). Un raisonnement analogue à celui de la preuve de la proposition 2.7 montre que ce n’est pas le cas.

Si [Λ, n, m, ιβ] et [Λ′, n′, m′, ι′β] sont deux réalisations d’une même paire, on définit une application de transfert entre 𝒞 (Λ, m, ιβ) et 𝒞 (Λ′, m′, ι′β) en composant τ_{Λ,m,ιβ}^{−1} avec τ_{Λ′,m′,ι′β}. On a une propriété de transitivité évidente.

Exemple 2.12. — Dans la situation du §2.3, l’application de transfert de 𝒞 (Λ̄, m, β) à 𝒞 (Λ, m, β) est la restriction de H^{m+1}(β, Λ̄) à H^{m+1}(β, Λ).

Voici une première propriété du transfert (qu’on peut qualifier de transfert interne, dans la mesure où on change la suite Λ, mais pas le groupe G).

Théorème 2.13. — Soient [Λ, n, m, β] et [Λ′, n′, m′, β] deux strates simples de A. On suppose que :

⌊\frac{m}{e(Λ|𝒪_{E})} ⌋ = ⌊\frac{m′}{e(Λ′|𝒪_{E})} ⌋.

Alors pour tout θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β), le transfert de θ à 𝒞 (Λ′, m′, β) coïncide avec θ sur H^{m+1}(β, Λ) ∩ H^{m′+1}(β, Λ′).

Remarque 2.14. — Dans le cas où Λ et Λ′ sont strictes, ce résultat, quoique annoncé dans [14] (cf. Exemple 3.54) et déjà utilisé dans [15], n’y est pas démontré. On donne ici une démonstration dans le cas général, lorsque Λ et Λ′ sont quelconques.

Démonstration. — La preuve s’effectue en quatre étapes.

(i) On choisit un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β) et on note θ′ son transfert à 𝒞 (Λ′, m′, β). On fixe un couple (V^{∘}, Λ^{∘}) pour Λ et un couple (V^{′∘}, Λ^{′∘}) pour Λ′ (cf. §2.3), de telle sorte que V^{′∘} = V^{∘}. On pose Λ̄ = Λ⊕Λ^{∘} et Λ̄′ = Λ′ ⊕Λ^{′∘}. On note θ̄ (resp. θ̄′) le caractère simple de 𝒞 (Λ̄, m, β) (resp. de 𝒞 (Λ̄′, m, β)) qui prolonge θ (resp. θ′). Ainsi θ̄′ est le transfert de θ̄.

(ii) On suppose momentanément que A est déployée. Alors θ̄ et θ̄′ coïncident sur l’intersection H^{m+1}(β, Λ̄) ∩ H^{m′+1}(β, Λ̄′) d’après [7, Theorem 3.6.1]. Par restriction à G, les caractères θ et θ′ coïncident sur H^{m+1}(β, Λ) ∩ H^{m′+1}(β, Λ′).

(iii) La F-algèbre A est à nouveau quelconque, mais on suppose maintenant que Λ et Λ′ sont strictes. On choisit une extension non ramifiée L/F maximale dans D (cf. §2.5). Pour chaque 1 ⩽ i ⩽ l, on a une strate simple [Λ_{L}^{i}, n, m, β^{i}] de End_{L}(V^{i}). On fixe un caractère additif ψ_{L} : L → ℂ^{×} trivial sur 𝔭_{L} mais pas sur 𝒪_{L}, dont la restriction à F est ψ_{F}. On choisit un caractère simple θ^{i} ∈ 𝒞 (Λ_{L}^{i}, m, β^{i}) de telle sorte que la famille {θ^{i}} définisse un caractère quasisimple dont la restriction à H^{m+1}(β, Λ) soit θ (cf. [14], §3.2.4). On note θ^{′i} le transfert de θ^{i} à 𝒞 (Λ^{′i}, m′, β^{i}). D’après [14, Théorème 3.53], la famille {θ^{′i}} définit un caractère quasi-simple dont la restriction à H^{m+1}(β, Λ′) est θ′. D’après (ii), les caractères θ^{i} et θ^{′i} coïncident sur H^{m+1}(β^{i}, Λ^{i})∩H^{m′+1}(β^{i}, Λ^{′i}). Ceci prouve le théorème dans le cas où Λ et Λ′ sont strictes.

(iv) On revient maintenant au cas général. Les caractères θ̄ et θ̄′ coïncident sur l’intersection H^{m+1}(β, Λ̄) ∩ H^{m′+1}(β, Λ̄′) d’après (iii). Par restriction à G, les caractères θ et θ′ coïncident sur H^{m+1}(β, Λ) ∩ H^{m′+1}(β, Λ′).

Ceci termine la preuve du théorème 2.13.

2.7. — Dans ce paragraphe, on décrit le comportement de 𝒞 (Λ, m, β) par passage à une strate simple équivalente, puis par augmentation du niveau. On pose r = ⌊q/2⌋ + 1.

Proposition 2.15. — Soit un entier 0 ⩽ l ⩽ q, et soit [Λ, n, l, γ] une strate simple équivalente à [Λ, n, l, β]. L’application θ ↦ θψ_{γ−β} induit des bijections :

𝒞 (Λ, m, β) → 𝒞 (Λ, m, γ), ⌊l/2⌋ ⩽ m ⩽ q − 1.

Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄, on se ramène au cas où Λ est stricte, puis on applique la proposition 2.1.

Proposition 2.16. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A.

(i) On suppose que m ⩽ ⌊q/2⌋. Si deux caractères de 𝒞 (Λ, m, β) coïncident sur H^{r}(β, Λ), ils sont tordus l’un l’autre par un caractère de U_{m+1}(Λ) ∩ B^{×} trivial sur U_{r}(Λ) ∩ B^{×} et se factorisant par N_{B/E}.

(ii) On suppose que m ⩽ q−2. La restriction de 𝒞 (Λ, m, β) à 𝒞 (Λ, m+1, β) est surjective.

Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄, on se ramène au cas où Λ est stricte, puis on applique la proposition 2.2.

On termine par le résultat suivant.

Théorème 2.17. — Soit V = V^{1} ⊕…⊕V^{l} une décomposition de V en sous-E ⊗_{F} D-modules, qui soit conforme à Λ. Soit M le sous-groupe de Levi de G correspondant. Soit un entier 1 ⩽ i ⩽ l.

(i) Pour k ⩾ 0, on a :

J^{k}(β, Λ) ∩ Aut_{D}(V^{i}) = J^{k}(β, Λ^{i}), H^{k}(β, Λ) ∩ Aut_{D}(V^{i}) = H^{k}(β, Λ^{i}).

(ii) Pour 0 ⩽ m ⩽ q − 1 et pour θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β), la paire (H^{m+1}(β, Λ), θ) est décomposée par (M, P) pour tout sous-groupe parabolique P de G de facteur de Levi M, et la restriction de θ à H^{m+1}(β, Λ^{i}) est égale au transfert de θ à 𝒞 (Λ^{i}, m, β).

Démonstration. — On fixe un couple (V^{∘}, Λ^{∘}) comme au §2.3, et on applique le théorème 2.3 à la décomposition Λ⊕Λ^{∘} ⊕Λ^{∘} = (Λ^{i} ⊕Λ^{∘})⊕((⨁_{j≠i} Λ^{j})⊕Λ^{∘}). D’abord, on a :

J^{k}(β, Λ ⊕ Λ^{∘} ⊕ Λ^{∘}) ∩ Aut_{D}(V^{i} ⊕ V^{∘}) = J^{k}(β, Λ^{i} ⊕ Λ^{∘}).

Si on projette sur Aut_{D}(V^{i}), on obtient l’égalité voulue pour J^{k}. Avec un raisonnement analogue, on obtient l’égalité pour H^{k}. Ensuite, soit θ un caractère simple de 𝒞 (Λ, m, β), et soit θ̃ ∈ 𝒞 (Λ ⊕ Λ^{∘} ⊕ Λ^{∘}, m, β) prolongeant θ. La restriction de θ̃ à H^{m+1}(β, Λ^{i} ⊕ Λ^{∘}) est égale au transfert de θ à 𝒞 (Λ^{i} ⊕ Λ^{∘}, m, β). Si on restreint à H^{m+1}(β, Λ^{i}), on obtient l’égalité voulue entre restriction de θ à H^{m+1}(β, Λ^{i}) et transfert de θ à 𝒞 (Λ^{i}, m, β). Enfin, il reste à prouver que θ est trivial sur chaque sous-groupe de la forme 1 + Hom(V^{i}, V^{j}), avec i ≠ j. C’est vrai pour θ̃ sur 1 + Hom(V^{i} ⊕ V^{∘}, (⨁_{j≠i} V^{j}) ⊕ V^{∘}), et on obtient le résultat par restriction à 1 + Hom(V^{i}, V^{j}).

2.8. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A et soit q = −k_{0}(β, Λ). On pose s = ⌈q/2⌉. Pour k ⩾ 1, on pose :

𝔪_{k}(β, Λ) = 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔫_{−q+k}(β, Λ) + 𝔍^{s}(β, Λ)

et on pose Ω_{k}(β, Λ) = 1 + 𝔪_{k}(β, Λ), qui est un sous-groupe ouvert compact de U_{k_{0}}(Λ), avec k_{0} = min{k, s}. Souvent, on notera simplement Ω_{k}(Λ), ou même Ω_{k}. Remarquer que la convention de notation est différente de celle utilisée dans [14, 19] (dont le 𝔪_{k} correspond à notre 𝔪_{q−k}).

Soit (V^{∘}, Λ^{∘}) un couple comme au §2.3, dont on reprend les notations. L’objectif de ce paragraphe et du suivant est de prouver le résultat suivant.

Proposition 2.18. — Soit k ⩾ 1. On a :

Ω_{k}(β, Λ̄)B̄^{×}Ω_{k}(β, Λ̄) ∩ G = Ω_{k}(β, Λ)B^{×}Ω_{k}(β, Λ).

La démonstration se fait, comme dans [14, §3.1] (cf. [14, Lemme 3.7]), par changement de base non ramifié.

Lemme 2.19. — Soit k ⩾ 1. Pour tout b ∈ B^{×}, on a :

Ω_{k}(Λ)bΩ_{k}(Λ) ∩ B^{×} = (Ω_{k}(Λ) ∩ B^{×}) b (Ω_{k}(Λ) ∩ B^{×}) .

Démonstration. — Si l’on pose k_{0} = min{k, s}, c’est une conséquence de :

U_{k_{0}}(Λ) ∩ B^{×} ⊂ Ω_{k}(Λ) ⊂ U_{k_{0}}(Λ)

et de la propriété d’intersection simple [14, Corollaire 3.3]. La majoration est immédiate. Pour la minoration, il faut remarquer d’une part que 𝔅(Λ) est inclus dans 𝔍(β, Λ), ce qui implique 𝔞_{k_{0}}(Λ)∩B ⊂ 𝔍^{s}(β, Λ) dans le cas où k ⩾ s, et d’autre part que 𝔞_{k_{0}}(Λ) ∩ B est inclus dans 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔫_{−q+k}(β, Λ) dans le cas où k ⩽ s.

Lemme 2.20. — On a Ω_{k}(β, Λ̄) ∩ G = Ω_{k}(β, Λ) pour k ⩾ 1.

Démonstration. — On vérifie que :

𝔞_{k}(Λ̄) ∩ 𝔫_{−q+k}(β, Λ̄) ∩ A = 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔫_{−q+k}(β, Λ).

Le résultat est une conséquence de la définition de 𝔍^{k}(β, Λ) et du fait que, si R, S sont des sous-𝔅(Λ̄)-bimodules de Ā, on a (R+S)∩A = R∩A+S∩A.

2.9. — Soit F^{♯} une extension finie non ramifiée de F, de degré premier au degré résiduel de E/F et à la dimension de D sur F, et de groupe de Galois noté 𝒢. On pose :

A^{♯} = A ⊗_{F} F^{♯}, V^{♯} = V ⊗_{F} F^{♯}, Λ^{♯} = Λ ⊗_{𝒪_{F}} 𝒪_{F^{♯}} D^{♯} = D ⊗_{F} F^{♯}.

Ainsi F^{♯}[β] est un corps, D^{♯} est une F^{♯}-algèbre à division, V^{♯} est un A^{♯}-module simple et A^{♯} s’identifie naturellement à End_{D^{♯}}(V^{♯}).

Proposition 2.21. — La strate [Λ^{♯}, n, r, β ⊗ 1] de A^{♯} est simple.

Démonstration. — La démonstration suit formellement [14, §2] (voir notamment la proposition 2.9 et les corollaires 2.10 et 2.11), le fait que F^{♯}/F déploie A n’y jouant aucun rôle.

On suppose en outre que l’extension F^{♯}/F est non triviale, et on choisit dans F^{♯} une racine de l’unité ξ, non triviale et d’ordre premier à la caractéristique résiduelle p de F. On note Δ le groupe cyclique engendré par ξ · e + e^{∘} et M^{♯} son centralisateur dans Aut_{D^{♯}}(V̄^{♯}), c’est-à-dire le groupe des points fixes de Aut_{D^{♯}}(V̄^{♯}) par Δ. Si on identifie A à la F-algèbre A^{♯𝒢} des 𝒢 -invariants de A^{♯}, on a M^{♯𝒢} = M.

Remarque 2.22. — Ce procédé permet de calculer l’intersection de certaines parties de Ḡ avec M par des méthodes de descente comme en [14, §2.4]. Le changement de base est nécessaire dans le cas où le corps résiduel de F n’a que deux éléments.

Preuve de la proposition 2.18. — On note B̄^{♯} le commutant de E dans Ā^{♯}. Si on applique le lemme 2.19 à la strate simple [Λ̄^{♯}, n, 0, β], alors, compte tenu de [14, Proposition 2.36] et de [14, Lemme 2.35], on obtient :

Ω_{k}(Λ̄^{♯})B̄^{♯×}Ω_{k}(Λ̄^{♯}) ∩ M^{♯} = (Ω_{k}(Λ̄^{♯}) ∩ M^{♯}) (B̄^{♯×} ∩ M^{♯}) (Ω_{k}(Λ̄^{♯}) ∩ M^{♯})

puis, en projetant sur A^{♯×} :

(2.3)  Ω_{k}(Λ̄^{♯})B̄^{♯×}Ω_{k}(Λ̄^{♯}) ∩ A^{♯×} = Ω_{k}(Λ^{♯})B^{♯×}Ω_{k}(Λ^{♯}).

Il reste à calculer les points fixes de (2.3) par 𝒢. Pour le membre de gauche, on applique [14, Lemme 2.35] en tenant compte de [14, Proposition 2.41] et du lemme 2.19 appliqué à la strate simple [Λ̄^{♯}, n, 0, β]. On obtient :

Ω_{k}(Λ̄^{♯})B̄^{♯×}Ω_{k}(Λ̄^{♯}) ∩ G = Ω_{k}(Λ̄)B̄^{×}Ω_{k}(Λ̄) ∩ G.

Pour le membre de droite, on applique [14, Lemme 2.35] en tenant compte de [14, Proposition 2.41] et du lemme 2.19 appliqué à la strate simple [Λ^{♯}, n, 0, β]. On obtient :

Ω_{k}(Λ^{♯})B^{♯×}Ω_{k}(Λ^{♯}) ∩ G = Ω_{k}(Λ)B^{×}Ω_{k}(Λ),

ce qui termine la démonstration.

2.10. — On fixe un entier 0 ⩽ m ⩽ q − 1 et un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β). On rappelle que, si K est un sous-groupe de G, et si χ est un caractère de K, l’entrelacement de χ dans G, noté I_{G}(χ), est l’ensemble des éléments g ∈ G pour lesquels χ et son caractère conjugué χ^{g} coïncident sur K ∩ g^{−1}Kg.

Théorème 2.23. — On a I_{G}(θ) = Ω_{q−m}(β, Λ)B^{×}Ω_{q−m}(β, Λ).

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [19, Proposition 2.5]. Soit θ̄ ∈ 𝒞 (Λ̄, m, β) le caractère prolongeant θ. D’après [14, Théorème 3.50], [19, Lemma 2.1] et la proposition 2.17 appliquée à (2.2), on a :

IḠ(θ̄_{|H^{m+1}(β,Λ̄)∩M}) ∩ M = IḠ(θ̄) ∩ M
= Ω_{q−m}(Λ̄)B̄^{×}Ω_{q−m}(Λ̄) ∩ M.

On applique la proposition 2.18, puis on projette sur G, ce qui donne :

IḠ(θ̄_{|H^{m+1}(β,Λ̄)∩M}) ∩ G = Ω_{q−m}(β, Λ)B^{×}Ω_{q−m}(β, Λ).

Le membre de gauche vaut I_{G}(θ), ce qui termine la démonstration.

Proposition 2.24. — Tout caractère simple de 𝒞 (Λ, m, β) est normalisé par (𝔎(Λ) ∩ B^{×})Ω_{q−m}(β, Λ).

Démonstration. — Soit θ̄ ∈ 𝒞 (Λ̄, m, β) le caractère prolongeant θ. D’après le théorème 2.23 et [14, Théorème 3.50], le caractère θ̄ est normalisé par le groupe (𝔎(Λ̄) ∩ B̄^{×})Ω_{q−m}(Λ̄) et θ est entrelacé par (𝔎(Λ) ∩ B^{×})Ω_{q−m}(Λ).

2.11. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. On pose Ã = End_{F}(V), qu’on identifie à A ⊗_{F} End_{A}(V).

Définition 2.25. — Une corestriction modérée sur A relative à E/F est un homomorphisme de B-bimodules s : A → B tel que s̃ = s ⊗ id_{End_{A}(V)} soit une corestriction modérée sur Ã relative à E/F au sens de [7, Definition 1.3.3].

Bien entendu, lorsque A est déployée sur F, cette définition coïncide avec celle de [7], puisque, dans ce cas, on a End_{A}(V) = F.

D’après [4, Lemma 4.2.1], on a un moyen de construire des corestrictions modérées sur A relatives à E/F, ce qui prouve qu’il en existe. On a les propriétés suivantes.

Proposition 2.26. — Soit s une corestriction modérée sur A relative à E/F.

(i) Si s′ est une corestriction modérée sur A relative à E/F, il existe u ∈ 𝒪_{E}^{×} tel que s′ = us.

(ii) Soit V = V^{1} ⊕ V^{2} une décomposition de V en sous-E ⊗_{F} D-modules, qui soit conforme à Λ. Pour i ∈ {1, 2}, la restriction s_{i} de s à A^{i} est une corestriction modérée sur A^{i} relative à E/F.

Démonstration. — Les deux sont vrais lorsque la F-algèbre A est déployée. Pour (i), il existe donc u ∈ 𝒪_{E}^{×} tel que s̃′ = us̃, ce qui implique s′ = us. Pour (ii), la restriction s̃_{i} de s̃ à Ã^{i} est une corestriction modérée sur Ã^{i} relative à E/F égale à s_{i} ⊗ id_{End_{A^{i}}(V^{i})}.

Soit V = V^{1} ⊕ V^{2} une décomposition de V en sous-E ⊗_{F} D-modules, qui soit conforme à Λ. On note M le sous-groupe de Levi correspondant. Si 𝔩 est un sous-𝒪_{F}-réseau de A, on pose 𝔩^{ij} = 𝔩 ∩ A^{ij} pour i, j ∈ {1, 2}.

Soit s une corestriction modérée sur A relative à E/F. Pour x ∈ A, on pose a_{β}(x) = βx − xβ. On pose ψ_{A} = ψ_{F} ∘ tr_{A/F}. Pour toute partie R de A, on note :

R^{∗} = {a ∈ A | ψ_{A}(ax) = 1, x ∈ R}

le dual de R relativement à ψ_{A}.

Proposition 2.27. — Pour 0 ⩽ m ⩽ q − 1, la suite :

(2.4) 0 → 𝔞_{q−m}(Λ) ∩ B → 𝔪_{q−m}(β, Λ)→^{a_{β}}(ℌ^{m+1}(β, Λ))^{∗}→^{s}𝔞_{−m}(Λ) ∩ B → 0

est exacte. Si on désigne cette suite par 0 → 𝔩_{1} → 𝔩_{2} → 𝔩_{3} → 𝔩_{4} → 0, alors la suite :

(2.5) 0 → h^{−1}𝔩_{1}^{ij}h + 𝔩_{1}^{ij} → h^{−1}𝔩_{2}^{ij}h + 𝔩_{2}^{ij} → h^{−1}𝔩_{3}^{ij}h + 𝔩_{3}^{ij} → h^{−1}𝔩_{4}^{ij}h + 𝔩_{4}^{ij} → 0

est exacte pour tout h ∈ B^{×} ∩ M et tous i, j ∈ {1, 2}.

Démonstration. — On note Λ̃ la 𝒪_{F}-suite de V sous-jacente à Λ. On note B̃ le commutant de E dans Ã, on note ∗ la dualité relativement à ψ_{F} ∘ tr_{Ã/F}, on note ã_{β} l’application x ↦ βx − xβ définie sur Ã et on pose s̃ = s ⊗ id_{End_{A}(V)}. La strate [Λ̃, n, m, β] est une strate simple de Ã de même exposant critique que [Λ, n, m, β] (cf. [14, 2.23]). On lui applique [9, Lemma 6.3]. La suite :

(2.6) 0 → 𝔞_{q−m}(Λ̃) ∩ B̃ → 𝔪_{q−m}(β, Λ̃)→^{ã_{β}}(ℌ^{m+1}(β, Λ̃))^{∗}→^{s̃}𝔞_{−m}(Λ̃) ∩ B̃ → 0

est exacte. Si on désigne cette suite par 0 → 𝔩̃_{1} → 𝔩̃_{2} → 𝔩̃_{3} → 𝔩̃_{4} → 0, alors la suite :

(2.7) 0 → h^{−1}𝔩̃_{1}^{ij}h + 𝔩̃_{1}^{ij} → h^{−1}𝔩̃_{2}^{ij}h + 𝔩̃_{2}^{ij} → h^{−1}𝔩̃_{3}^{ij}h + 𝔩̃_{3}^{ij} → h^{−1}𝔩̃_{4}^{ij}h + 𝔩̃_{4}^{ij} → 0

est exacte pour tout h ∈ B^{×} ∩ M et tous i, j ∈ {1, 2}.

Lemme 2.28. — On a 𝔩̃_{k} ∩ A = 𝔩_{k} pour 1 ⩽ k ⩽ 4.

Démonstration. — Pour k ∈ {1, 4}, c’est immédiat. Pour les autres cas, on choisit un couple (V^{∘}, Λ^{∘}) comme au §2.3. Par définition (cf. [14, (54) et (64)] et §2.3), on a :

ℌ^{m+1}(β, Λ) = ℌ^{m+1}(β, Λ̃ ⊕ Λ̃^{∘}) ∩ A

et le membre de droite est égal à ℌ^{m+1}(β, Λ̃) ∩ A d’après (2.4). On en déduit que 𝔩̃_{3}∩A = 𝔩_{3} à l’aide de [14, Lemme 2.45]. Un raisonnement analogue permet d’obtenir 𝔩̃_{2} ∩ A = 𝔩_{2}.

Pour terminer la démonstration de la proposition 2.27, il reste à vérifier que l’exactitude de (2.4) et (2.5) est conservée par restriction à A. Ceci se fait, comme dans [4, §4], en choisissant une extension non ramifiée L/F maximale dans D, et en appliquant successivement le foncteur des L-invariants puis le foncteur des Gal(L/F)-invariants (voir aussi [14, §2.4]).

De façon analogue, on démontre à partir de [7, Corollary 1.4.10] :

Proposition 2.29. — Pour k ∈ ℤ, la suite :

0 → 𝔞_{q+k}(Λ) ∩ B → 𝔞_{q+k}(Λ) ∩ 𝔫_{k}(β, Λ)→^{a_{β}}𝔞_{k}(Λ)→^{s}𝔞_{k}(Λ) ∩ B → 0

est exacte.

2.12. — On établit une propriété de non-dégénérescence des caractères simples, qui généralise [7, Theorem 3.4.1]. Pour x, y ∈ G, on note [x, y] le commutateur de x et y.

Lemme 2.30. — Soit θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β) avec ⌊q/2⌋ ⩽ m ⩽ q − 1. Soient deux entiers k, l ⩾ 1 tels que k + l ⩾ m + 1 et k + 2l ⩾ q + 1. On suppose qu’on est dans l’une des situations suivantes :

(1) x ∈ 1 + 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔫_{k−q}(β, Λ) et y ∈ 1 + 𝔞_{l}(Λ) ∩ 𝔫_{l−q}(β, Λ).

(2) x ∈ 1 + 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔫_{k−q}(Λ) et y ∈ J^{l}(β, Λ).

(3) x ∈ J^{k}(β, Λ) et y ∈ J^{l}(β, Λ). Alors [x, y] ∈ H^{m+1}(β, Λ), et on a θ([x, y]) = ψ_{x^{−1}βx−β}(y).

Démonstration. — Par transfert de Λ à Λ̄ (cf. §2.3), on se ramène au cas où Λ est stricte. Puis on applique [14, Lemmes 3.25–3.27].

Proposition 2.31. — Soit θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β) avec m ⩽ ⌊q/2⌋. L’application :

(x, y) ↦ θ([x, y]), x, y ∈ J^{m+1},

induit une forme alternée non dégénérée :

k_{θ} : J^{m+1}/H^{m+1} × J^{m+1}/H^{m+1} → ℂ^{×}.

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [14, Proposition 3.9]. Il suffit de remplacer [7, Theorem 3.4.1] par [14, Théorème 3.52] et [7, Proposition 3.2.12] par le lemme 2.30.

3. Le processus de raffinement

Soit A une F-algèbre centrale simple, soit G son groupe multiplicatif et soit π une représentation irréductible de niveau non nul de G. Dans cette section, on prouve que trois cas seulement peuvent se produire (cf. Théorème 3.23) :

(a) ou bien il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] de A, avec Λ stricte, telle que π contienne un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, 0, β), (b) ou bien π contient une strate scindée (cf. Définition 3.9), (c) ou bien π contient un caractère scindé (cf. Définition 3.22).

3.1. — On fixe un A-module à gauche simple V. L’ensemble ℒ (V, 𝒪_{D}) des 𝒪_{D}-suites de réseaux de V est muni d’une structure affine provenant de celle de l’immeuble de G sur F, qu’on peut décrire de la façon suivante (voir [2]). Dans ce paragraphe, on note n la dimension de V sur D.

Remarque 3.1. — Sauf mention explicite du contraire, dans ce qui suit, les suites de réseaux sont des 𝒪_{D}-suites, et on note e(Λ) la période sur 𝒪_{D} d’une suite Λ.

À chaque base b de V sur D correspond d’une part un isomorphisme V ≃ D^{n} de D-espaces vectoriels à droite, d’autre part l’ensemble ℒ^{b}(V, 𝒪_{D}) des 𝒪_{D}- suites de réseaux décomposées par b. Pour chaque entier i, on a une fonction affine a_{i} : ℒ^{b}(V, 𝒪_{D}) → ℝ telle que, pour Λ ∈ ℒ^{b}(V, 𝒪_{D}) et k ∈ ℝ, on ait :

(3.1)  Λ_{k} = ⨁_{i=1}^{n} 𝔭_{D}^{⌈k/e(Λ)−a_{i}(Λ)⌉}.

Cette base permet d’identifier les F-algèbres A et M_{n}(D), donc de faire de A un D-espace vectoriel à droite par transport de structure. Pour chaque couple d’entiers (i, j), on pose α_{ij} = a_{i} − a_{j}. Pour Λ ∈ ℒ^{b}(V, 𝒪_{D}), la 𝒪_{F}-suite 𝔞(Λ) est munie d’une structure de 𝒪_{D}-suite et, pour k ∈ ℝ, on a :

(3.2)  𝔞_{k}(Λ) = ⨁_{i,j=1}^{n} 𝔭_{D}^{⌈k/e(Λ)−α_{ij}(Λ)⌉}.

En d’autres termes, un élément a ∈ A appartient à 𝔞_{k}(Λ) si et seulement si, pour chaque 1 ⩽ i, j ⩽ n, la valuation normalisée de a_{ij} est supérieure ou égale à k/e(Λ) − α_{ij}(Λ).

3.2. — On établit une liste de lemmes techniques. La remarque 3.1 vaut toujours.

Lemme 3.2. — Soit Λ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) et soit un entier m ∈ ℤ. Il existe une suite Λ′ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) stricte et un entier m′ ∈ ℤ tels qu’on ait :

(3.3)  𝔞_{−m}(Λ) ⊂ 𝔞_{−m′}(Λ′), \frac{m′}{e(Λ′)} ⩽ \frac{m}{e(Λ)}.

Démonstration. — La démonstration est très proche de celle de [13, Proposition 2.3]. On se contente d’en donner les grandes lignes, et on renvoie à loc. cit. pour les détails. D’abord, on remarque que, pour i ∈ ℤ, l’application naturelle :

(3.4) 𝔞_{−m}(Λ)/𝔞_{−m+1}(Λ) → ⨁_{l=0}^{e(Λ)−1} Hom_{k_{D}}(Λ_{i+l}/Λ_{i+l+1}, Λ_{i+l−m}/Λ_{i+l−m+1})

est un isomorphisme de k_{D}-espaces vectoriels. Donc si Λ_{i} ≠ Λ_{i+1}, on a l’égalité 𝔞_{−m}(Λ)Λ_{i} = Λ_{i−m}. En d’autres termes, la partie 𝔞_{−m}(Λ) est taut par rapport à Λ au sens de [13], c’est-à-dire que que 𝔞_{−m}(Λ) opère sur l’ensemble ℒ = {Λ_{i} | i ∈ ℤ}. Comme Λ n’est pas nécessairement stricte, 𝔞_{−m}(Λ) n’est pas nécessairement completely taut. On note ℒ′ la plus grande partie de ℒ sur laquelle l’action de 𝔞_{−m}(Λ) est bijective, et on choisit une 𝒪_{D}-suite stricte Λ′ de classe de translation ℒ′. Soit m′ ∈ ℤ l’entier défini par :

(3.5)  𝔞_{−m}(Λ)Λ′_{i} = Λ′_{i−m′}, i ∈ ℤ.

En raisonnant comme dans la preuve de [13, Proposition 2.3], on obtient :

\frac{m′}{e(Λ′)} ⩽ \frac{m}{e(Λ)}.

D’après (3.5), on a l’inclusion cherchée.

Remarque 3.3. — (3.3) reste vrai si l’on remplace m′ par me(Λ′)/e(Λ) ∈ ℚ.

Lemme 3.4. — Soient Λ, Λ′ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}), et soient m, m′ ∈ ℚ. On pose :

(3.6) Λ(t) = (1 − t)Λ + tΛ′, e(t) = e(Λ(t)), \frac{m(t)}{e(t)} = (1 − t)\frac{m}{e(Λ)} + t\frac{m′}{e(Λ′)}

pour t ∈ [0, 1] rationnel. Alors :

𝔞_{−m}(Λ) ∩ 𝔞_{−m′}(Λ′) ⊂ 𝔞_{−m(t)}(Λ(t)).

Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ′. Pour 1 ⩽ i, j ⩽ n, on pose :

(3.7)  ρ_{ij}(t) = −\frac{m(t)}{e(t)} − α_{ij}(Λ(t)),

qui est une application affine. Compte tenu de (3.2), il suffit de prouver que :

max(⌈ρ_{ij}(0)⌉, ⌈ρ_{ij}(1)⌉) ⩾ ⌈(1 − t)ρ_{ij}(0) + tρ_{ij}(1)⌉,

ce qui est immédiat.

Corollaire 3.5. — Sous les hypothèses de 3.4, on suppose que :

𝔞_{−m}(Λ) ⊂ 𝔞_{−m′}(Λ′).

Alors, pour tous 0 ⩽ s ⩽ t ⩽ 1 rationnels, on a :

𝔞_{−m(s)}(Λ(s)) ⊂ 𝔞_{−m(t)}(Λ(t)).

Démonstration. — L’hypothèse implique que ρ_{ij}(0) ⩾ ρ_{ij}(1), c’est-à-dire que chacune des fonctions affines ρ_{ij} est décroissante. Le résultat s’ensuit.

Corollaire 3.6. — Soient Λ_{1}, …, Λ_{r} ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) et soit m ∈ ℚ. On pose :

Λ′ = \frac{1}{r} ∑_{i=1}^{r} Λ_{i}, \frac{m′}{e(Λ′)} = \frac{1}{r} ∑_{i=1}^{r} \frac{m}{e(Λ_{i})}.

Alors :

⋂_{i=1}^{r} 𝔞_{m}(Λ_{i}) ⊂ 𝔞_{m′}(Λ′).

Démonstration. — Par récurrence sur r à partir du lemme 3.4.

Lemme 3.7. — Soient Λ, Λ′ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}), et soient m, m′ ∈ ℤ. Il existe des couples (Λ_{0}, m_{0}), …, (Λ_{l}, m_{l}) ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) × ℚ tels que :

𝔞_{⌊m_{k+1}⌋+1}(Λ_{k+1}) ⊂ 𝔞_{m_{k}}(Λ_{k}), 0 ⩽ k ⩽ l − 1,

et tels que (Λ_{0}, m_{0}) = (Λ, m) et (Λ_{l}, m_{l}) = (Λ′, m′).

Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ′, et on reprend les notations (3.6) et (3.7). Chaque ρ_{ij} est une application affine, de sorte que t ↦ ⌈ρ_{ij}(t)⌉ ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Donc, compte tenu de (3.2), l’application :

(3.8)  t ↦ 𝔞_{m(t)}(Λ(t))

ne prend qu’un nombre fini de valeurs sur l’intervalle rationnel [0, 1] ∩ ℚ. On choisit une suite strictement croissante t_{0}, …, t_{l} de cet intervalle telle que les réseaux 𝔞_{m(t_{k})}(Λ(t_{k})) décrivent les valeurs successives prises par (3.8). On pose Λ_{k} = Λ(t_{k}) et m_{k} = m(t_{k}). Pour prouver l’inclusion, il suffit de montrer que :

⌈ρ_{ij}(t_{k})⌉ ⩽ ⌊ρ_{ij}(t_{k+1})⌋ + 1

pour 1 ⩽ i, j ⩽ m et 0 ⩽ k ⩽ l − 1, ce qui est immédiat.

Lemme 3.8. — Soient Λ, Λ′ ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}), soient m, m′ ∈ ℤ et soit ε ∈ ℝ_{+}^{×}. Il existe des couples (Λ_{0}, m_{0}), …, (Λ_{l}, m_{l}) ∈ ℒ (V, 𝒪_{D}) × ℚ tels que :

𝔞_{m_{k+1}}(Λ_{k+1}) ⊂ 𝔞_{m_{k}−e(Λ_{k})ε}(Λ_{k}), 0 ⩽ k ⩽ l − 1,

et tels que (Λ_{0}, m_{0}) = (Λ, m) et (Λ_{l}, m_{l}) = (Λ′, m′).

Démonstration. — On choisit une base de V sur D décomposant Λ et Λ′, et on reprend les notations (3.6) et (3.7). Compte tenu de (3.2), l’inclusion :

𝔞_{m(t)}(Λ(t)) ⊂ 𝔞_{m(s)−e(s)ε}(Λ(s))

a lieu, pour s, t ∈ [0, 1] rationnels, si et seulement si on a ⌈ρ_{ij}(t)⌉ ⩾ ⌈ρ_{ij}(s)−ε⌉. Puisque ρ_{ij} est affine, il suffit de choisir un entier l ⩾ 1 suffisamment grand et de poser t_{k} = k/l, pour 0 ⩽ k ⩽ l, puis Λ_{k} = Λ(t_{k}) et m_{k} = m(t_{k}).

3.3. — Soit [Λ, m, m − 1, b] une strate de A. On pose e = e(Λ|𝒪_{F}) et on note g le plus grand diviseur commun à e et m. On choisit une uniformisante ϖ_{F} de F, et on pose y_{b} = ϖ_{F}^{m/g}b^{e/g}, que l’on considère comme un élément de End_{F}(V). Son polynôme caractéristique est à coefficients dans 𝒪_{F}, et la réduction modulo 𝔭_{F} de celui-ci est appelée le polynôme caractéristique de la strate. On le note φ_{b}. Il est à coefficients dans k_{F} (cf. [18, §2.2]).

Définition 3.9. — La strate [Λ, m, m − 1, b] est dite fondamentale (resp. scindée) si son polynôme caractéristique φ_{b} ∈ k_{F}[X] n’est pas une puissance de X (resp. a au moins deux facteurs irréductibles distincts).

Remarque 3.10. — Le polynôme φ_{b} dépend de l’uniformisante choisie, mais pas les notions de strate fondamentale et de strate scindée.

Les résultats suivants généralisent respectivement [4, Proposition 1.2.2] et [4, Theorem 1.2.5].

Proposition 3.11. — Soit [Λ, m, m − 1, b] une strate non fondamentale de A. Il existe un entier m′ ∈ ℤ et une 𝒪_{D}-suite stricte Λ′ tels que :

b + 𝔞_{1−m}(Λ) ⊂ 𝔞_{−m′}(Λ′), \frac{m′}{e(Λ′)} < \frac{m}{e(Λ)}.

Démonstration. — On procède par changement de base non ramifié. On choisit un couple (V^{∘}, Λ^{∘}) comme au §2.3 et une extension non ramifiée F^{♯} de F comme au §2.9, dont on reprend les notations. On pose b̄ = b ⊕ 0, de sorte que la strate [Λ̄^{♯}, m, m − 1, b̄] de Ā^{♯} est non fondamentale. On peut donc appliquer [4, Proposition 1.2.2]. On en tire une 𝒪_{D^{♯}}-suite stricte ℒ de V̄^{♯} et un entier k ∈ ℤ tels que :

(3.9)  b̄ + 𝔞_{1−m}(Λ̄^{♯}) ⊂ 𝔞_{−k}(ℒ), \frac{k}{e(ℒ |𝒪_{D^{♯}})} < \frac{m}{e(Λ)}.

Puisque le membre de gauche est stable par le groupe fini 𝒢 ⋉ Δ, la relation (3.9) est toujours valable si l’on remplace ℒ par un de ses conjugués par ce groupe. Si on applique le corollaire 3.6 à la famille des conjugués de ℒ, on obtient :

(3.10)  b̄ + 𝔞_{1−m}(Λ̄^{♯}) ⊂ 𝔞_{−k′}(ℒ′), \frac{k′}{e(ℒ′|𝒪_{D^{♯}})} = \frac{k}{e(ℒ |𝒪_{D^{♯}})} < \frac{m}{e(Λ)},

où ℒ′ désigne la moyenne de ℒ relativement à 𝒢 ⋉ Δ, c’est-à-dire l’isobarycentre des conjugués de ℒ. La suite ℒ′ est à la fois invariante par 𝒢 et invariante par Δ, c’est-à-dire que Δ est contenu dans U(ℒ′), donc que ℒ′ est décomposée par la décomposition V̄^{♯} = V^{♯} ⊕ V^{∘♯}. En projetant (3.10) sur A, on obtient :

b + 𝔞_{1−m}(Λ) ⊂ 𝔞_{−k′}(ℒ′ ∩ V), \frac{k′}{e(ℒ′ ∩ V)} < \frac{m}{e(Λ)}.

Enfin, on applique le lemme 3.2 à la suite ℒ′∩V : il existe une 𝒪_{D}-suite stricte Λ′ de V et un entier m′ ∈ ℤ vérifiant l’inclusion et l’inégalité voulues.

Proposition 3.12. — Soit [Λ, m, m−1, b] une strate fondamentale non scindée de A. Il existe une strate simple [Λ′, m′, m′−1, b′] avec Λ′ stricte, vérifiant :

b + 𝔞_{1−m}(Λ) ⊂ b′ + 𝔞_{1−m′}(Λ′), \frac{m′}{e(Λ′)} = \frac{m}{e(Λ)}.

Démonstration. — On note Λ̃ la 𝒪_{F}-suite sous-jacente à Λ. L’élément caractéristique y_{b} est dans 𝔄(Λ̃), et sa réduction modulo 𝔓(Λ̃) est inversible, puisque son polynôme caractéristique φ_{b} est une puissance d’un polynôme irréductible distinct de X. D’après (3.4), on en déduit que y_{b} ∈ U(Λ̃), puis que b ∈ 𝔎(Λ).

Soit ℒ une 𝒪_{D}-suite stricte de V telle que 𝔞_{0}(ℒ) = 𝔞_{0}(Λ). En particulier, b normalise ℒ. D’après [4, Lemma 2.1.9(i)], si on pose k = −υ_{ℒ} (b), la strate [ℒ , k, k − 1, b] est fondamentale non scindée, et on a :

(3.11)  𝔞_{−m}(Λ) = 𝔞_{−k}(ℒ), 𝔞_{1−m}(Λ) = 𝔞_{1−k}(ℒ).

D’après [4, Theorem 1.2.5], il existe une strate simple [Λ′, m′, m′ − 1, b′] avec Λ′ stricte, telle que :

b + 𝔞_{1−k}(ℒ) ⊂ b′ + 𝔞_{1−m′}(Λ′).

Compte tenu de (3.11), ceci met fin à la démonstration.

3.4. — Soit [Λ, n, 0, β] une strate simple de A. On pose q = −k_{0}(β, Λ) et on fixe un entier 1 ⩽ m ⩽ q − 1. On pose r = ⌊q/2⌋ + 1 et s = ⌈q/2⌉.

Lemme 3.13. — Soit m_{0} = min{m, s} et soit ϑ un caractère de H^{m_{0}} dont la restriction à H^{m+1} est dans 𝒞 (β, m, Λ). Il existe une unique représentation irréductible τ de U_{m_{0}}(Λ) dont la restriction à H^{m_{0}} contient ϑ.

Démonstration. — La démonstration est similaire à celle de [7, Lemma 8.1.8]. D’après la proposition 2.30, la forme alternée :

(x, y) ↦ ϑ([x, y]), x, y ∈ J^{m_{0}},

ne dépend que de la restriction de ϑ à H^{m+1}. D’après la proposition 2.31, c’est donc une forme non dégénérée. Il existe donc une unique représentation irréductible μ de J^{m_{0}} dont la restriction à H^{m_{0}} contient ϑ. Il reste à prouver que l’entrelacement de μ dans U_{m_{0}}(Λ) est contenu dans J^{m_{0}}, et l’induite :

τ = Ind_{J^{m_{0}}}^{U_{m_{0}}(Λ)}(μ)

sera irréductible. L’entrelacement de μ est contenu dans :

I_{G}(θ) = Ω_{q−m}(β, Λ)B^{×}Ω_{q−m}(β, Λ)

par le théorème 2.23. Il faut donc montrer que :

Ω_{q−m}(β, Λ) ∩ U_{m_{0}}(Λ) ⊂ J^{m_{0}}(β, Λ),

ce qui revient à montrer :

(3.12)  𝔞_{q−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(β, Λ) ∩ 𝔞_{m_{0}}(Λ) ⊂ 𝔍^{m_{0}}(β, Λ).

On continue par récurrence sur k_{0}(β, Λ). Si m < r, l’équation (3.12) est impliquée par [7, Proposition 3.1.10(i)] dans le cas déployé D = F, d’où le cas général en appliquant le lemme 2.28.

On suppose donc que m ⩾ r (et m_{0} = s). Si β est minimal sur F, alors 𝔍^{m_{0}}(β, Λ) = 𝔞_{m_{0}}(Λ) et il n’y a rien à démontrer. Sinon, soit [Λ, n, q, γ] une strate simple équivalente à [Λ, n, q, β], soit B_{1} le commutant de γ dans A et soit q_{1} = −k_{0}(γ, Λ). Alors on a :

𝔞_{q−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(β, Λ) = 𝔞_{q−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(γ, Λ)
= 𝔞_{q−m}(Λ) ∩ B_{1} + 𝔞_{q_{1}−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(γ, Λ).

On a 𝔞_{q−m}(Λ) ∩ B_{γ} ⊂ 𝔍^{m_{0}}(γ, Λ) et, puisque m_{0} < r_{1} = ⌊q_{1}/2⌋ + 1, on a :

𝔞_{q_{1}−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(γ, Λ) ∩ 𝔞_{m_{0}} ⊂ 𝔍^{m_{0}}(γ, Λ)

par récurrence. Puisque 𝔍^{m_{0}}(γ, Λ) = 𝔍^{m_{0}}(β, Λ), la preuve est terminée.

Lemme 3.14. — Soit m_{0} = min{m, s} et soit ϑ un caractère de H^{m_{0}} dont la restriction à H^{m+1} est dans 𝒞 (Λ, m, β). Soit K un sous-groupe ouvert compact de U_{m_{0}}(Λ), et soit ρ une représentation irréductible de K dont la restriction à H^{m_{0}} ∩ K contient ϑ_{|H^{m_{0}}∩K}. Alors toute représentation irréductible de G contenant ϑ contient ρ.

Démonstration. — La preuve est similaire à celle de [7, Proposition 8.1.7]. Il suffit de remplacer [7, Lemma 8.1.8] par le lemme 3.13.

3.5. — Soit π une représentation irréductible de G et soit s une corestriction modérée sur A relative à E/F.

Proposition 3.15. — Soient θ̃ ∈ 𝒞 (Λ, ⌈m⌉ − 1, β) et c ∈ 𝔞_{⌈−m⌉}(Λ) tels que π contienne le caractère ϑ = θ̃ψ_{c} de H^{⌈m⌉}(β, Λ). Soit Λ′ une 𝒪_{D}-suite E-pure de période e(Λ′) et soit m′ = me(Λ′)/e(Λ). Soit α′ ∈ 𝔞_{⌈−m⌉}(Λ) ∩ 𝔞_{⌈−m′⌉}(Λ′) ∩ B tel que :

s(c) + 𝔞_{1−⌈m⌉}(Λ) ∩ B ⊂ α′ + 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) ∩ B.

Alors il existe θ̃′ ∈ 𝒞 (Λ′, ⌈m′⌉ − 1, β) et c′ ∈ 𝔞_{⌈−m′⌉}(Λ′) tels que s(c′) = α′ et tels que π contienne le caractère ϑ′ = θ̃′ψ_{c′} de H^{⌈m′⌉}(β, Λ′). Si α′ = 0, on peut choisir c′ = 0.

Démonstration. — Soit m_{0} = min{⌈m⌉, s}. Puisque H^{m_{0}}(β, Λ)/H^{⌈m⌉}(β, Λ) est abélien, π contient un caractère ϑ̃ de H^{m_{0}}(β, Λ) qui prolonge ϑ. En prolongeant θ̃ en un caractère simple de H^{m_{0}}(β, Λ), que l’on note aussi θ̃, et en changeant c dans sa classe modulo 𝔞_{1−⌈m⌉}(Λ), on a encore ϑ̃ = θ̃ψ_{c}.

Nous démontrons la proposition dans un premier temps sous l’hypothèse supplémentaire :

(H)  H^{⌈m′⌉}(β, Λ′) ⊂ U^{m_{0}}(Λ).

On commence par prouver le lemme suivant.

Lemme 3.16. — Pour tous k, k′ ∈ ℤ, on a :

s(𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔞_{k′}(Λ′)) = s(𝔞_{k}(Λ)) ∩ s(𝔞_{k′}(Λ′)).

Démonstration. — Dans le cas où A est déployée sur F et où Λ, Λ′ sont strictes, c’est une conséquence de [7, §1.3] et du fait que 𝔞_{k}(Λ) et 𝔞_{k′}(Λ′) sont des réseaux E-exacts. Dans le cas général, on choisit un couple (V^{∘}, Λ^{∘}) comme au §2.3. L’égalité est valable pour les 𝒪_{F}-suites sous-jacentes à Λ̄ et à Λ̄′, appliquée avec une corestriction modérée de End_{F}(V ⊕ V^{∘}) dont la restriction à A est s. On obtient le lemme 3.16 par projection sur A.

Puisque α′ appartient à 𝔞_{⌈−m⌉}(Λ) ∩ 𝔞_{⌈−m′⌉}(Λ′) ∩ B, il existe, d’après le lemme 3.16, un élément c′ ∈ 𝔞_{⌈−m⌉}(Λ) ∩ 𝔞_{⌈−m′⌉}(Λ′) tel que s(c′) = α′, et on peut prendre c′ = 0 si α′ = 0. On pose δ = c′ − c ∈ 𝔞_{⌈−m⌉}(Λ).

Lemme 3.17. — Il existe x ∈ 𝔞_{q−⌊m⌋}(Λ) ∩ 𝔫_{−⌊m⌋}(β, Λ) tel que :

δ − (1 + x)^{−1}a_{β}(x) − (1 + x)^{−1}(cx − xc) ∈ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′).

Démonstration. — On démontre par récurrence que, pour t ⩾ 0, il existe x_{t} ∈ 𝔞_{q−⌊m⌋}(Λ) ∩ 𝔫_{−⌊m⌋}(β, Λ) tel que :

(3.13) δ − (1 + x_{t})^{−1}a_{β}(x_{t}) − (1 + x_{t})^{−1}(cx_{t} − x_{t}c) ∈ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) + 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ).

Le lemme s’ensuit puisque 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ) ⊂ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) pour t suffisamment grand. Puisque δ ∈ 𝔞_{−⌊m⌋}(Λ), on peut prendre x_{0} = 0. Supposons donc que t ⩾ 0 et qu’on ait trouvé x_{t} ∈ 𝔞_{q−⌊m⌋}(Λ) ∩ 𝔫_{−⌊m⌋}(β, Λ) tel que (3.13) soit satisfaite. Il existe alors δ_{t} ∈ 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ) tel que :

δ − (1 + x_{t})^{−1}a_{β}(x_{t}) − (1 + x)^{−1}(cx_{t} − x_{t}c) ∈ δ_{t} + 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′).

On impose δ_{0} = δ dans le cas t = 0 et, dans ce cas :

s(δ_{0}) = α′ − s(c) ∈ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) ∩ B.

Également, pour t > 0, on a :

s(δ_{t}) ∈ 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ) ∩ B ⊂ 𝔞_{1−⌈m⌉}(Λ) ∩ B ⊂ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) ∩ B.

Donc δ_{t} ∈ 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ) ∩ (𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) + a_{β}(A)).

Lemme 3.18. — Pour tous k, k′ ∈ ℤ, on a :

𝔞_{k}(Λ) ∩ (𝔞_{k′}(Λ′) + a_{β}(A)) = 𝔞_{k}(Λ) ∩ 𝔞_{k′}(Λ′) + 𝔞_{k}(Λ) ∩ a_{β}(A).

Démonstration. — Dans le cas où A est déployée sur F et où Λ, Λ′ sont strictes, c’est une conséquence de [7, 8.1.13]. On traite le cas général comme au lemme 3.16.

D’après le lemme 3.18, on a :

𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ)∩(𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) + a_{β}(A)) = 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ)∩𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′)+𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ)∩a_{β}(A).

D’après la proposition 2.29, il existe y_{t} ∈ 𝔞_{q+t−⌊m⌋}(Λ) ∩ 𝔫_{t−⌊m⌋}(β, Λ) tel que :

δ_{t} − a_{β}(y_{t}) ∈ 𝔞_{t−⌊m⌋}(Λ) ∩ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′),

et x_{t+1} = x_{t} + y_{t} est comme il faut.

Revenons à la démonstration de la proposition 3.15 sous l’hypothèse (H). Soit x comme dans le lemme 3.17. Par le lemme 2.30, l’élément 1+x normalise H^{m_{0}}(β, Λ) et :

ϑ̃^{1+x} = ϑ̃ψ_{(1+x)^{−1}a_{β}(x)}ψ_{(1+x)^{−1}(cx−xc)}.

Soit θ̃′ le caractére simple dans 𝒞 (Λ′, ⌈m′⌉ − 1, β) qui coïncide avec θ̃ sur H^{⌈m′⌉}(β, Λ′) ∩ H^{m_{0}}(β, Λ). Le lemme 3.17 implique que, comme caractère du groupe H^{⌈m′⌉}(β, Λ′) ∩ H^{m_{0}}(β, Λ), on a :

ϑ̃^{1+x} = θ̃′ψ_{c′}.

Puisque l’hypothèse (H) est satisfaite, on déduit du lemme 3.14 que π contient ϑ′ = θ̃′ψ_{c′}.

Traitons maintenant le cas général. Supposons d’abord que m ⩽ q/2. D’après le lemme 3.7, il existe une famille finie (Λ_{i})_{0⩽i⩽l} vérifiant :

U_{⌈m_{i}⌉}(Λ_{i}) ⊃ U_{⌊m_{i+1}⌋+1}(Λ_{i+1}), 0 ⩽ i ⩽ l − 1,

avec (Λ_{0}, m_{0}) = (Λ, m), (Λ_{l}, m_{l}) = (Λ′, m′) et m_{i} = me_{i}/e, où e_{i} est la période de Λ_{i}. Par le lemme 3.4, on a s(c) ∈ 𝔞_{−⌊m_{i}⌋}(Λ_{i}) ∩ B, pour chaque i, et :

s(c) + 𝔞_{1−⌈m_{i}⌉}(Λ_{i}) ∩ B ⊂ s(c) + 𝔞_{1−⌈m_{i+1}⌉}(Λ_{i+1}) ∩ B, 0 ⩽ i ⩽ l − 1.

Par dualité, on obtient :

U_{⌈m_{i}⌉}(Λ_{i}) ∩ B ⊃ U_{⌈m_{i+1}⌉}(Λ_{i+1}) ∩ B.

Soit q_{i} = −k_{0}(β, Λ_{i}) = qe_{i}/e. Puisque m ⩽ q/2, on a m_{i} ⩽ q_{i}/2 et donc :

H^{⌈m_{i+1}⌉}(β, Λ_{i+1}) = (U_{⌈m_{i+1}⌉}(Λ_{i+1}) ∩ B) H^{⌊m_{i+1}⌋+1}(β, Λ_{i+1}) ⊂ U_{⌈m_{i}⌉}(Λ_{i}).

Appliquant le cas où l’hypothèse (H) est vérifiée, on voit que, pour chaque i, il existe θ̃_{i} ∈ 𝒞 (Λ_{i}, ⌈m_{i}⌉ − 1, β) et c_{i} ∈ 𝔞_{⌈−m_{i}⌉}(Λ_{i}) tels que s(c_{i}) = s(c) et π contienne le caractère ϑ_{i} = θ̃_{i}ψ_{c_{i}} de H^{⌈m_{i}⌉}(β, Λ_{i}). À la dernière étape, on peut remplacer s(c) par α′ et on en déduit le résultat.

Finalement, supposons que m > q/2 et fixons ε > 0 tel que eε < m − q/2. Par le lemme 3.8, il existe une famille finie (Λ_{i})_{0⩽i⩽l} vérifiant :

U_{⌈m_{i+1}⌉}(Λ_{i+1}) ⊂ U_{⌈m_{i}−e_{i}ε⌉}(Λ_{i}), 0 ⩽ i ⩽ l − 1,

avec (Λ_{0}, m_{0}) = (Λ, m), (Λ_{l}, m_{l}) = (Λ′, m′) et m_{i} = me_{i}/e, où e_{i} est la période de Λ_{i}. On a :

m_{i} − e_{i}ε = \frac{e_{i}}{e} (m − eε) > \frac{e_{i}}{e} \frac{q}{2} = \frac{q_{i}}{2} ,

donc ⌈m_{i} − e_{i}ε⌉ ⩾ ⌈q_{i}/2⌉ = s_{i} et :

H^{⌈m_{i+1}⌉}(β, Λ_{i+1}) ⊂ U_{⌈m_{i+1}⌉}(Λ_{i+1}) ⊂ U_{⌈m_{i}−e_{i}ε⌉}(Λ_{i}) ⊂ U_{⌈s_{i}⌉}(Λ_{i}).

La démonstration se termine maintenant comme dans le cas précédent.

3.6. — Soit π une représentation irréductible de niveau non nul de G.

Proposition 3.19. — On est dans l’un des deux cas suivants :

(1) Il existe une strate scindée [Λ, n, n − 1, b] de A, avec n ⩾ 1 et Λ stricte, telle que la restriction de π à U_{n}(Λ) contienne ψ_{b} ;

(2) Il existe une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte, et un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β), tels que la restriction de π à H^{m+1}(β, Λ) contienne θ.

Remarque 3.20. — Dans le cas (1), on dit que π contient une strate scindée.

Démonstration. — D’abord, d’après [4, Theorem 1.2.1(i)], la représentation π contient une strate fondamentale [Λ, n, n − 1, b] de A, avec Λ stricte, c’est-à-dire que la restriction de π à U_{n}(Λ) contient ψ_{b}. Si elle est scindée, alors on est dans le premier cas. Si elle ne l’est pas, alors, d’après [4, Theorem 1.2.4], la représentation π contient une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte, c’est-à-dire que la restriction de π à H^{m+1}(β, Λ) contient un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β).

Il est commode d’introduire la définition suivante. Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A avec m ⩾ 1. Soit V_{E} un B-module à gauche simple, soit D_{E} l’algèbre opposée à End_{B}(V_{E}), soit Γ une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux de V_{E} vérifiant la condition du théorème 1.4 et soit s une corestriction modérée sur A relativement à E/F (cf. §2.11).

Définition 3.21. — Une strate dérivée de [Λ, n, m, β] est une strate de B de la forme [Γ, m, m − 1, s(c)] avec c ∈ 𝔞_{−m}(Λ).

On définit maintenant les caractères scindés de G. C’est ce qui est appelé, dans [7], les types scindés de niveau (x, y), avec x > y > 0.

Définition 3.22. — Un couple (K, ϑ) est un caractère scindé de G s’il existe une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec m ⩾ 1 et Λ stricte, un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m − 1, β) et c ∈ 𝔞_{−m}(Λ) tels que :

(i) On a K = H^{m}(β, Λ) et ϑ = θψ_{c}.

(ii) La strate dérivée [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée, pour n’importe quelle corestriction modérée s sur A relativement à E/F.

La distinction entre strate scindée et caractère scindé est assez superficielle : c’est à peu près la même que celle qu’on fait entre types simples de niveau 0 et de niveau > 0 (cf. [16]).

On est maintenant en mesure de formuler le résultat principal de cette section.

Théorème 3.23. — Soit π une représentation irréductible de niveau non nul de G. Alors :

(1) ou bien il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] de A, avec Λ stricte, telle que π contienne un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, 0, β) ;

(2) ou bien π contient une strate scindée.

(3) ou bien π contient un caractère scindé.

Le reste du paragraphe est consacré à la démonstration du théorème 3.23. D’après la proposition 3.19, si π ne contient pas de strate scindée, il existe une strate simple [Λ, n, m, β] de A, avec Λ stricte, et un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β), tels que la restriction de π à H^{m+1}(β, Λ) contienne θ. On choisit [Λ, n, m, β] et θ tels que le rapport m/e(Λ|𝒪_{F}) soit minimal. Si m = 0, alors on est dans le cas (1) du théorème 3.23. Dans toute la suite du §, on suppose que m ⩾ 1. On fixe un B-module à gauche simple V_{E} et on note D_{E} l’algèbre opposée à End_{B}(V_{E}). On fixe une 𝒪_{D_{E}}-suite Γ de réseaux de V_{E} vérifiant la condition du théorème 1.4. On fixe un caractère ϑ de H^{m}(β, Λ) contenu dans π et prolongeant θ, un caractère simple θ̃ ∈ 𝒞 (Λ, m − 1, β) prolongeant θ et un élément c ∈ 𝔞_{−m}(Λ) tel que ϑ = θ̃ψ_{c}. Enfin, on fixe une corestriction modérée s sur A relativement à E/F. Il s’agit de prouver que la strate dérivée [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée.

Proposition 3.24. — La strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est fondamendale.

Remarque 3.25. — Pour simplifier les notations, on calcule toutes les périodes de suites de réseaux sur 𝒪_{F} et, si Λ est une suite de réseaux, on note e(Λ) pour e(Λ|𝒪_{F}). Cette remarque se substitue donc à la remarque 3.1. Pour une 𝒪_{D}-suite de réseaux Λ, on a e(Λ|𝒪_{F}) = e(Λ|𝒪_{D})d, où d désigne le degré réduit de D sur F. Pour une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux Γ, on a e(Γ|𝒪_{F}) = e(Γ|𝒪_{E})e_{E/F}, où e_{E/F} désigne l’indice de ramification de E/F.

Démonstration. — On raisonne par l’absurde. D’après la proposition 3.11, il existe un entier k′ ∈ ℤ et une 𝒪_{D_{E}}-suite stricte Γ′ de V_{E} tels que :

(3.14)  s(c) + 𝔞_{1−m}(Λ) ∩ B = s(c) + 𝔟_{1−m}(Γ) ⊂ 𝔟_{−k′}(Γ′)

et :

(3.15)  \frac{k′}{e(Γ′)} < \frac{m}{e(Γ)}.

On fixe un couple (ρ′, Λ′) correspondant à Γ′ par le théorème 1.7 et on pose m′ = me(Λ′)/e(Λ).

Lemme 3.26. — On a :

(3.16)  s(c) + 𝔞_{1−m}(Λ) ∩ B ⊂ 𝔞_{1−⌈m′⌉}(Λ′) ∩ B

et :

(3.17)  \frac{⌈m′⌉ − 1}{e(Λ′)} < \frac{m}{e(Λ)}.

Démonstration. — À partir de (3.15) et de la remarque 1.10, on écrit :

ρ′k′ < \frac{e(Λ′)}{e(Λ)}m = m′.

Compte tenu du fait que ρ′k′ est entier, on en déduit :

−ρ′k′ ⩾ 1 − ⌈m′⌉,

ce qui, avec (3.14), donne (3.16). Ensuite, on écrit m′ = ⌈m′⌉ − 1 + a/e(Λ), avec 1 ⩽ a ⩽ e(Λ). On obtient :

\frac{⌈m′⌉ − 1}{e(Λ′)} = \frac{m′}{e(Λ′)} − \frac{a}{e(Λ)e(Λ′)} < \frac{m}{e(Λ)},

ce qui termine la démonstration.

D’après le lemme 3.15 appliqué avec α′ = 0, il existe un caractère simple de 𝒞 (Λ′, ⌈m′⌉−1, β) contenu dans π, ce qui contredit la minimalité de m/e(Λ).

Proposition 3.27. — La strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée.

Démonstration. — On raisonne par l’absurde. D’après la proposition 3.12, il existe un entier k′ ∈ ℤ, une 𝒪_{D_{E}}-suite stricte Γ′ de V_{E} et α′ ∈ B tels que :

s(c) + 𝔞_{1−m}(Λ) ∩ B ⊂ α′ + 𝔟_{1−k′}(Γ′)

et tels que la strate [Γ′, k′, k′ − 1, α′] soit simple. On fixe un couple (ρ′, Λ′) correspondant à Γ′ par le théorème 1.7 et on pose m′ = ρ′k′ ∈ ℤ. On a donc :

s(c) + 𝔞_{1−m}(Λ) ∩ B ⊂ α′ + 𝔞_{1−m′}(Λ′) ∩ B.

Avant d’appliquer à nouveau le lemme 3.15, on a besoin des deux lemmes suivants.

Lemme 3.28. — On a m/e(Λ) = m′/e(Λ′).

Démonstration. — Puisque la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est fondamentale, on a s(c) ∈ 𝔎(Γ). Ensuite, on a s(c) − α′ ∈ 𝔞_{1−k′}(Γ′) et α′ ∈ 𝔞_{−k′}(Γ′), c’est-à-dire que les strates [Γ′, k′, k′ − 1, s(c)] et [Γ′, k′, k′ − 1, α′] sont équivalentes. Elles ont donc le même polynôme caractéristique, de sorte que [Γ′, k′, k′ − 1, s(c)] est fondamentale. Ainsi s(c) ∈ 𝔎(Γ′). On en déduit que m/e(Γ) = k′/e(Γ′), ce qui implique l’égalité voulue.

Lemme 3.29. — On a 𝔞_{−m′}(Λ′) ∩ B ⊂ 𝔞_{−m}(Λ) ∩ B.

Démonstration. — En prenant le dual de l’inclusion :

𝔞_{1−m}(Λ) ∩ B ⊂ 𝔞_{1−m′}(Λ′) ∩ B,

on obtient 𝔞_{m′}(Λ′)∩B ⊂ 𝔞_{m}(Λ)∩B. Puis, en multipliant par s(c)^{2} et en tenant compte du lemme 3.28, on obtient l’inclusion voulue.

D’après le lemme 3.15, il existe un caractère simple θ̃′ ∈ 𝒞 (Λ′, m′ − 1, β) et c′ ∈ 𝔞_{−m′}(Λ′) tels que s(c′) = α′ et que π contienne le caractère ϑ′ = θ̃′ψ_{c′}. Pour terminer la preuve de la proposition 3.27, on a besoin du résultat suivant, analogue de [7, Theorem 2.2.8].

Proposition 3.30. — La strate [Λ′, n′, m′ − 1, β + c′] est équivalente à une strate simple.

On reporte la preuve de la proposition 3.30 au paragraphe suivant. En attendant, on termine la preuve de la proposition 3.27. On choisit une strate simple [Λ′, n′, m′ −1, β′] équivalente à [Λ′, n′, m′ −1, β +c′]. La strate [Λ′, n′, m′, β′] est équivalente à la strate simple [Λ′, n′, m′, β]. On applique la proposition 2.15. On a une bijection :

𝒞 (Λ′, m′ − 1, β) → 𝒞 (Λ′, m′ − 1, β′)

envoyant θ̃′ sur ϑ′ψ_{β′−β−c′}. Mais β′ − β − c′ ∈ 𝔞_{1−m′}(Λ′). Ceci implique que ϑ′ ∈ 𝒞 (Λ′, m′ − 1, β′), et contredit la minimalité de m/e(Λ|𝒪_{F}).

3.7. — Dans ce paragraphe, on démontre la proposition 3.30. D’après [16, Théorème 2.2], il suffit de prouver que [Λ′, n′, m′ − 1, β + c′] est équivalente à une strate pure.

On pose K = E(α′) et on note C le commutant de K dans A. On fixe un K ⊗_{F} D-module à droite simple S et on pose A(K) = End_{D}(S). On note D_{K} le commutant de K dans A(K). C’est une K-algèbre à division. On choisit une décomposition de V en somme de K ⊗_{F} D-modules qui soit conforme à Λ′. On en déduit un plongement de F-algèbres ι : A(K) → A et un isomorphisme de (A(K), C)-bimodules (cf. [16, §1.3]) :

(3.18)  A(K) ⊗_{D_{K}} C → A.

On a besoin du lemme suivant.

Lemme 3.31. — Soit s′ une corestriction modérée sur A(K) relativement à E/F. Alors s′ ⊗ id_{C} est une corestriction modérée sur A relativement à E/F.

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7, Proposition 1.3.9], compte tenu de [4, Lemmas 4.2.1–4.2.2].

On note s′ la corestriction modérée sur A(K) relativement à E/F telle que s′ ⊗ id_{C} corresponde à s via (3.18). On note 𝔄(K) l’unique ordre héréditaire de A(K) normalisé par K^{×} et 𝔓(K) son radical de Jacobson. On note e le rapport de e(Λ′|𝒪_{D}) sur e(𝔄(K)|𝒪_{D}). On pose n′′ = n′/e et m′′ = m′/e. Ce sont des entiers, égaux respectivement à −υ_{𝔄(K)}(β) et à −υ_{𝔄(K)}(α′). Soit enfin un élément c_{0} ∈ 𝔓(K)^{−m′′} tel que s′(c_{0}) = α′.

Lemme 3.32. — La strate [𝔄(K), n′′, m′′ − 1, β + c_{0}] est pure.

Démonstration. — La preuve est très proche de celle de [7, Proposition 2.2.3]. D’après le théorème 1.4, le normalisateur de 𝔄(K) dans D_{K} est égal au normalisateur de l’unique 𝒪_{K}-ordre de D_{K}, qui est 𝒪_{D_{K}}. Donc 𝔄(K) est normalisé par D_{K}^{×}. On note B(K) le commutant de E dans A(K).

Soit x ∈ A(K)^{×} commutant à β + c_{0} et soit t ∈ ℤ le plus grand entier tel que x ∈ 𝔓(K)^{t}. En raisonnant comme dans le preuve de [7, Proposition 2.2.3] et en remplaçant [7, Corollary 1.4.10] par la proposition 2.29, on obtient :

x ∈ (𝔓(K)^{t} ∩ D_{K} + 𝔓(K)^{t+1}) \𝔓(K)^{t+1} ⊂ 𝔎(𝔄(K)).

Donc le centralisateur de F[β + c_{0}] dans A(K)^{×} est compact modulo le centre. Ainsi la F-algèbre F[β+c_{0}] est un corps dont le groupe multiplicatif est contenu dans 𝔎(𝔄(K)), ce qui termine la démonstration du lemme 3.32.

Ainsi l’image par ι de la strate pure [𝔄(K), n′′, m′′ − 1, β + c_{0}] est une strate pure [Λ′, n′, m′ − 1, β + c_{0}]. On a s(β + c′) = s(β + c_{0}). D’après la proposition 2.29, il existe un élément y ∈ 𝔞_{q′−m′}(Λ) ∩ 𝔫_{−m′}(Λ) tel que :

c′ − c_{0} ≡ a_{β}(y) mod 𝔞_{1−m′}(Λ′).

On en déduit que [Λ′, n′, m′ − 1, β + c′] est équivalente à la conjuguée de la strate [Λ′, n′, m′ − 1, β + c_{0}] par 1 + y, ce qui met fin à la fois à la preuve de la proposition 3.30 et à celle du théorème 3.23.

4. Modules de Jacquet

Soit π une representation irréductible de niveau non nul de G. Par le théorème 3.23, on sait que π contient soit un caractère simple d’un groupe H^{1}(β, Λ) avec Λ stricte, soit un caractère scindé, soit une strate scindée. Le but principal de cette section est de démontrer le théorème suivant :

Théorème 4.1. — Soit π une representation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G. Il existe une strate simple [Λ, n, 0, β], avec Λ stricte, et un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, 0, β) tels que π_{|H^{1}(β,Λ)} contienne θ.

L’idée est d’utiliser la notion de paire couvrante pour démontrer que, dans le cas où la représentation π contient un caractère scindé ou une strate scindée, elle a un module de Jacquet non nul.

4.1. — Soit [Λ, n, m, β] une strate simple de A avec m ⩾ 1 et avec Λ stricte. Soit V = V^{1}⊕V^{2} une décomposition de V en E⊗_{F}D-modules, qui est conforme à Λ, et soit :

M = Aut_{D}(V^{1}) × Aut_{D}(V^{2}),

qui est un sous-groupe de Levi de G. Soient N = 1 + A^{12} et N^{−} = 1 + A^{21}, et soient P = MN et P^{−} = MN^{−}. Donc P est un sous-groupe parabolique avec facteur de Levi M, et P^{−} est le sous-groupe parabolique opposé.

Soit B le commutant de E dans A. On fixe un B-module à gauche simple V_{E} et on note D_{E} l’algèbre opposée à End_{B}(V_{E}). Soit Γ une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux telle que 𝔞_{k}(Λ) ∩ B = 𝔟_{k}(Γ) pour k ∈ ℤ, donnée par le théorème 1.4. La décomposition V = V^{1} ⊕ V^{2} correspond à une décomposition V_{E} = V_{E}^{1} ⊕ V_{E}^{2} telle que :

M ∩ B = Aut_{D_{E}}(V_{E}^{1}) × Aut_{D_{E}}(V_{E}^{2}).

C’est une décomposition conforme à Γ, et on pose Γ^{i} = Γ ∩ V_{E}^{i}. On fixe aussi une corestriction modérée s : A → B. Alors les restrictions s_{i} = s_{|A^{i}} : A^{i} → B^{i} sont aussi des corestrictions modérées.

Soient c_{i} ∈ A^{i} ∩ 𝔞_{−m}(Λ). On pose c = c_{1} + c_{2} ∈ A. On suppose que la strate [Γ, m, m−1, s(c)] de B est (fondamentale) scindée par la décomposition, c’est-à-dire que les polynômes caracteristiques des strates [Γ^{i}, m, m − 1, s(c_{i})], pour i ∈ {1, 2}, sont premier entre eux. On suppose aussi que s(c_{1}) normalise Γ^{1} et que υ_{Γ^{1}}(s(c_{1})) = −m.

Lemme 4.2. — On a :

I_{B^{×}}(ψ_{c}_{|U_{m}(Λ)∩B}) ⊂ (U_{1}(Λ) ∩ B) · (M ∩ B) · (U_{1}(Λ) ∩ B).

Démonstration. — L’entrelacement de ψ_{c}_{|U_{m}(Λ)∩B} est le même que l’entrelacement de la strate [Γ, m, m − 1, s(c)]. La démonstration est alors presque identique à celle de [17, Theorem 4.9] : il suffit de remplacer [17, Lemma 4.11] par [4, Lemma 2.3.4].

Soit maintenant θ un caractère simple dans 𝒞 (Λ, m − 1, β). On considère le caractère ξ = θψ_{c} de H^{m}(β, Λ). On pose :

Ω = (U_{1}(Λ) ∩ B)Ω_{q−m+1}(β, Λ).

D’après la proposition 2.24, le caractère θ est normalisé par Ω. Puisque Ω ⊂ U_{1}(Λ) normalise ψ_{c}, le caractère ξ est lui aussi normalisé par Ω.

Théorème 4.3. — On a I_{G}(ξ) ⊂ ΩMΩ.

Démonstration. — Si g ∈ G entrelace ξ, alors g entrelace a fortiori sa restriction ξ_{|H^{m+1}(β,Λ)} = θ_{|H^{m+1}(β,Λ)}. D’après le théorème 2.23, l’élément g appartient donc à Ω_{q−m}(β, Λ)B^{×}Ω_{q−m}(β, Λ).

On écrit γ = (1 + x)t(1 + y)^{−1}, avec x, y ∈ 𝔪_{q−m}(β, Λ) et t ∈ B^{×}. Puisque 1 + x est dans (1 + 𝔞_{q−m}(Λ) ∩ 𝔫_{−m}(β, Λ))J^{s}(β, Λ), on a, d’après la proposition 2.30 :

(4.1)  ξ^{1+x} = ξψ_{(1+x)^{−1}β(1+x)−β} = ξψ_{a_{β}(x)}.

L’élément t entrelace ξ^{1+x} et ξ^{1+y}, donc leur restriction au groupe H^{m}(β, Λ) ∩ B = U_{m}(Λ) ∩ B. Puisque les restriction de ψ_{a_{β}(x)} et ψ_{a_{β}(y)} à U_{m}(Λ) ∩ B sont triviales, et puisque t entrelace certainement θ_{|U_{m}(Λ)∩B}, on voit que t entrelace aussi le caractère ψ_{c}_{|U_{m}(Λ)∩B}. D’après le lemme 4.2, on a :

t ∈ (U_{1}(Λ) ∩ B)(M ∩ B)(U_{1}(Λ) ∩ B).

Puisque U_{1}(Λ)∩B normalise ξ et le groupe Ω_{q−m}(β, Λ), on peut donc supposer que t ∈ M ∩ B.

Par la décomposition d’Iwahori de Ω_{q−m}(β, Λ) par rapport à (M, P), on écrit 1 + x = n_{x}^{−}m_{x}n_{x}, avec n_{x}^{−} ∈ Ω_{q−m}(β, Λ) ∩ N^{−}, m_{x} ∈ Ω_{q−m}(β, Λ) ∩ M et n_{x} = 1 + x_{n} ∈ Ω_{q−m}(β, Λ) ∩ N. On écrit 1 + y = n_{y}^{−}m_{y}n_{y} de la même manière.

On pose :

ℌ_{−} = (\begin{matrix}ℌ^{m+1}(β, Λ) & ℌ^{m+1}(β, Λ) \\ ℌ^{m}(β, Λ) & ℌ^{m+1}(β, Λ) \end{matrix})

et H_{−} = 1 + ℌ_{−} = H^{m+1}(β, Λ)(H^{m}(β, Λ) ∩ N^{−}). L’élément t entrelace les restrictions ξ^{1+x}_{|H_{−}} et ξ^{1+y}_{|H_{−}} et, puisque n_{x}^{−}m_{x} normalise ξ_{|H^{−}}, on a l’égalité ξ^{1+x}_{|H_{−}} = ξ^{n_{x}}_{|H_{−}}. Puisque ξ_{|H_{−}} = θ_{|H^{−}} est entrelacé par t, on déduit de (4.1) que t entrelace les caractères ψ_{a_{β}(x_{n})} et ψ_{a_{β}(y_{n})}, c’est-à-dire que :

t^{−1}a_{β}(x_{n})t ≡ a_{β}(y_{n}) mod t^{−1}ℌ_{−}^{∗}t + ℌ_{−}^{∗}.

Cette équivalence est certainement satisfaite dans tous les blocs sauf peut-être le bloc A^{12}, où la condition est :

a_{β}(t^{−1}x_{n}t − y_{n}) ∈ (t^{−1}(ℌ^{m}(β, Λ))^{∗}t + (ℌ^{m}(β, Λ))^{∗}) ∩ A^{12}.

D’après le lemme 2.27, il existe x′_{n}, y′_{n} dans 𝔪_{q−m+1}(β, Λ) ∩ A^{12} tels que :

a_{β}(t^{−1}x′_{n}t − y′_{n}) = a_{β}(t^{−1}x_{n}t − y_{n}).

Donc (t^{−1}x′_{n}t − y′_{n}) − (t^{−1}x_{n}t − y_{n}) appartient au (1, 2)-bloc de :

(t^{−1}𝔪_{q−m}(β, Λ)t + 𝔪_{q−m}(β, Λ)) ∩ B ⊂ t^{−1} (𝔞_{1}(Λ) ∩ B) t + (𝔞_{1}(Λ) ∩ B) .

Il existe donc x′′_{n}, y′′_{n} ∈ (𝔞_{1}(Λ) ∩ B + 𝔪_{q−m+1}) ∩ A^{12} tels que t^{−1}x′′_{n}t − y′′_{n} = t^{−1}x_{n}t − y_{n} et donc :

(1 + x′′_{n})t(1 + y′′_{n})^{−1} = n_{x}tn_{y}^{−1}.

Puisque (1 + x′′_{n}), (1 + y′′_{n}) ∈ Ω ∩ N qui normalise ξ, et puisque le groupe Ω_{q−m}(β, Λ) normalise Ω, on peut supposer que g = n_{x}^{−}m_{x}t(n_{y}^{−}m_{y})^{−1}. De la même manière, en regardant la restriction de ξ à H_{+} = H^{m+1}(β, Λ)(H^{m}(β, Λ)∩N), on se ramène au cas g = m_{x}tm_{y}^{−1} ∈ M, ce qui démontre le théorème.

On pose K = H^{m}(β, Λ)(Ω ∩ N), qui est un sous-groupe ouvert compact de G, puisque Ω normalise H^{m}(β, Λ). Comme Ω normalise aussi ξ, on obtient :

Lemme 4.4. — Il existe un unique caractère ξ̃ de K qui est trivial sur K ∩ N et qui prolonge ξ.

Corollaire 4.5. — Si g ∈ N entrelace ξ̃, alors g ∈ K ∩ N.

Démonstration. — Supposons que g ∈ N entrelace ξ. D’après le théorème 4.3, il existe m ∈ M et γ_{1}, γ_{2} ∈ Ω tels que g = γ_{1}^{−1}mγ_{2}. Puisque Ω possède un décomposition d’Iwahori par rapport à (M, P), on peut écrire γ_{i} = γ_{i}^{−}γ_{i}^{M}γ_{i}^{+}, pour i = 1, 2, avec γ_{i}^{−} ∈ Ω ∩ N^{−}, γ_{i}^{M} ∈ Ω ∩ M et γ_{i}^{+} ∈ Ω ∩ N. On a donc :

γ_{1}^{+}g(γ_{2}^{+})^{−1} = (γ_{1}^{−}γ_{1}^{M})^{−1}mγ_{2}^{−}γ_{2}^{M} ∈ N ∩ P^{−} = {1},

d’où on déduit que g = (γ_{1}^{+})^{−1}γ_{2}^{+} ∈ Ω ∩ N = K ∩ N.

4.2. — Pour i ∈ {1, 2}, on suppose donnés d’une part un sous-groupe ouvert K̃_{i} de U(Λ)G^{i} qui contient et normalise le groupe H^{m}(β, Λ) ∩ G^{i}, d’autre part une représentation irréductible ϱ_{i} de K̃_{i} dont la restriction à K̃_{i}∩K est multiple de ξ_{|K̃_{i}∩H^{m}(β,Λ)}.

Corollaire 4.6. — (i) L’ensemble K̃ = (K̃_{1} × K̃_{2}) · K est un groupe.

(ii) Il existe une unique représentation irréductible ϱ de K̃ telle que les restrictions ϱ_{|K̃∩N} et ϱ_{|K̃∩N^{−}} soient triviales, et que ϱ_{|K̃∩M} ≃ ϱ_{1} ⊗ ϱ_{2}.

(iii) La paire (K̃, ϱ) est une paire couvrante de (K̃_{1} × K̃_{2}, ϱ_{1} ⊗ ϱ_{2}).

Démonstration. — Avec l’élément fortement (P, K̃)-positif :

ζ = (\begin{matrix}ϖ_{F} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ,

où ϖ_{F} désigne une uniformisante de F, la démonstration est identique à celle de [9, Corollary 6.6].

4.3. — On rappelle que r = ⌊q/2⌋ + 1 et s = ⌈q/2⌉. On définit trois entiers m_{0} = max{q − m, m}, m_{s} = max{q − m + 1, s} et m_{r} = max{q − m, r − 1}. Soit ε = m_{s} − m_{r}. On pose :

K_{l} = \begin{cases}H^{m}(β, Λ)(H^{l−ε+1}(β, Λ) ∩ N), & m_{s} ⩽ l < m_{0} + ϵ, \\ H^{m}(β, Λ)(Ω_{l+1}(β, Λ) ∩ N), & q − m ⩽ l < m_{s}, \\ K_{q−m}(U_{l+1}(Λ) ∩ B ∩ N), & 0 ⩽ l < q − m, \end{cases}

et :

Ξ_{l} = \begin{cases}((U_{m−l+ε}(Λ) ∩ B)Ω^{q−l+ε}(β, Λ)) ∩ N^{−}, & m_{s} ⩽ l ⩽ m_{0} + ε, \\ ((U_{m−l}(Λ) ∩ B)H^{q−l}(β, Λ)) ∩ N^{−}, & q − m < l < m_{s}, \\ (U_{m−l}(Λ) ∩ B) ∩ N^{−}, & 0 < l ⩽ q − m. \end{cases}

On a le lemme suivant.

Lemme 4.7. — Pour 0 < l < m + ε, le groupe Ξ_{l} agit transitivement sur les caractères de K_{l−1} qui prolongent ξ̃_{|K_{l}}

Démonstration. — On considére le cas m_{s} ⩽ l < m + ε, les autres cas étant similaires. Comme le quotient K_{l−1}/K_{l} est abélien, tout caractère de K_{l−1} qui étend ξ̃_{|K_{l}} est de la forme ξ̃_{|K_{l−1}}ψ_{b}, pour b ∈ ℌ^{l−ε+1}(β, Λ)^{∗} ∩ A^{21}. Donc s(b) ∈ 𝔞_{−l+ε}(Λ) ∩ B^{21}.

D’après [4, Lemma 2.3.8], il existe x ∈ 𝔞_{m−l+ε}(Λ) ∩ B^{21} tel qu’on ait s(b) = s(c)x − xs(c) = s(a_{c}(x)). Pour h ∈ K_{l−1}, le commutateur [1 + x, h] appartient à H^{m}(β, Λ) et, comme x ∈ B, la proposition 2.30 implique :

ξ̃([1 + x, h]) = ψ_{c}([1 + x, h]) = ψ_{a_{c}(x)}(h).

D’après le lemme 2.27 il existe un élément y ∈ 𝔪_{q−l+ε} ∩ A^{21} tel que a_{β}(y) = b−a_{c}(x). D’aprés la proposition 2.30, pour h ∈ K_{l−1}, le commutateur [1+y, h] appartient à H^{m+1}(β, Λ) et :

ξ̃([1 + y, h]) = θ([1 + y, h]) = ψ_{(1+y)^{−1}a_{β}(y)}(h).

On a ya_{β}(y) = 0 et ψ_{a_{c}(x)}^{1+y} = ψ_{a_{c}(x)}, car y ∈ 𝔞_{1}(Λ). On obtient donc :

ξ̃_{|K_{l−1}}^{(1+x)(1+y)} = ξ̃_{|K_{l−1}}ψ_{a_{β}(y)}ψ_{a_{c}(x)} = ξ̃_{|K_{l−1}}ψ_{b},

d’où le lemme.

Corollaire 4.8. — Soit π une représentation lisse de G qui contient le caractère ξ de H^{m}(β, Λ). Alors π n’est pas supercuspidale.

Démonstration. — En appliquant le lemme 4.7, on voit que π contient aussi le caractère ξ̃ de K = K_{0}. Par le corollaire 4.6, la paire (K, ξ̃) est une paire couvrante de (K ∩ M, ξ_{|H^{m}(β,Λ)∩M}). D’après [8, Theorem 7.9], la composante isotypique π_{N}^{ξ_{|H^{m}(β,Λ)∩M}} du module de Jacquet de π par rapport à P est non nulle.

4.4. — Soit π une représentation lisse de niveau non nul de G qui ne contient aucun caractère simple d’un groupe H^{1}(β, Λ) avec Λ stricte. D’après le théorème 3.23, la représentation π contient alors un caractère scindé ou une strate scindée. Le cas de la strate scindée est déjà réglé par [4, Theorem 1.2.3]. On suppose donc qu’il existe une strate simple [Λ, n, 0, β] avec Λ stricte, un caractère simple θ ∈ 𝒞 (Λ, m, β), et un c ∈ 𝔞_{−m}(Λ), tels que π contienne le caractère ϑ = θψ_{c} et que la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] soit scindée, où, avec les notations habituelles, Γ est une 𝒪_{D_{E}}-suite de réseaux de V_{E} qui correspond à Λ par le théorème 1.4.

Proposition 4.9. — Il existe une décomposition V_{E} = V_{E}^{1} ⊕ V_{E}^{2} conforme à Γ telle que :

(i) la strate [Γ, m, m − 1, s(c)] est scindée par cette décomposition ; (ii) l’élément s(c)^{1} ∈ B^{1} normalise Γ^{1} et υ_{Γ^{1}}(s(c)^{1}) = −m.

Démonstration. — Bien sûr, B^{1} et Γ^{1} désignent respectivement la E-algèbre End_{D_{E}}(V_{E}^{1}) et la suite Γ∩V_{E}^{1}. Dans le cas où Γ est stricte, c’est [3, Proposition 2.2.1]. La démonstration dans le cas général est identique.

Soit V = V^{1} ⊕ V^{2} la décomposition qui correspond à celle de V_{E} donnée par la proposition 4.9. Comme s(c) stabilise la décomposition V_{E} = V_{E}^{1} ⊕ V_{E}^{2}, on a s(e^{i}ce^{j}) = 0, pour i ≠ j, où e^{i} est le projecteur sur V^{i}. D’après le lemme 2.27, il existe x ∈ 𝔪_{q−m} tel que e^{i}a_{β}(x)e^{j} = −e^{i}ce^{j}, pour i ≠ j. D’aprés la proposition 2.30, l’élément 1 + x normalise H^{m}(β, Λ) et :

ϑ^{1+x} = θψ_{(1+x)^{−1}β(1+x)−β}ψ_{c} = θψ_{c′},

où c′ = c + a_{β}(x). Remplaçant c par c′, on voit qu’on est dans la situation des §§4.1–4.3. Par le corollaire 4.8, on conclut que π n’est pas supercuspidale, ce qui termine la démonstration du théorème 4.1.

5. Le niveau zéro

Soit A une F-algèbre centrale simple et soit G son groupe multiplicatif. Désormais, toute les strates sont relatives à une suite de réseaux stricte. On peut donc remplacer le langage des suites de réseaux par celui des ordres héréditaires. Par commodité, on fixe tout de même, comme d’habitude, un A-module à gauche simple V, et on note D l’algèbre opposée à End_{A}(V).

Dans cette section, on prouve que toute représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G contient un type simple maximal au sens de [16].

5.1. — Soit [𝔄, n, 0, β] une strate simple de A. Soit :

(5.1)  V = V^{1} ⊕ … ⊕ V^{l}

une décomposition de V en sous-E ⊗_{F} D-modules, qui soit conforme à 𝔄. Soit M le sous-groupe de Levi de G correspondant et soit P un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M. On écrit P = MN, où N est le radical unipotent de P. On note N^{−} le radical unipotent du sous-groupe parabolique opposé à P. On pose :

H_{P}^{1} = H^{1}(β, 𝔄) (J^{1}(β, 𝔄) ∩ N) ,
J_{P}^{1} = H^{1}(β, 𝔄) (J^{1}(β, 𝔄) ∩ P) .

Ce sont des sous-groupes ouverts compacts de J^{1}(β, 𝔄) contenant H^{1}(β, 𝔄). Pour simplifier les notations, on note H^{1}, J^{1} respectivement pour les groupes H^{1}(β, 𝔄), J^{1}(β, 𝔄). Soit θ ∈ 𝒞 (𝔄, 0, β) un caractère simple. On note θ_{P} le caractère de H_{P}^{1} défini par θ_{P}(hu) = θ(h), pour h ∈ H^{1} et u ∈ J^{1} ∩ N.

5.2. — Soit B le commutant de E dans A et soit V_{E} un B-module à gauche simple. On note D_{E} l’algèbre opposée à End_{B}(V_{E}) et m_{E} la dimension de V_{E} sur D_{E}. Soient e^{i} les idempotents de 𝔅 = 𝔄 ∩ B définis par la décomposition (5.1) et soit n_{i} la dimension de e^{i}V_{E}.

Définition 5.1. — La décomposition (5.1) est dite subordonnée à 𝔅 s’il existe un isomorphisme de E-algèbres Ψ : B → M_{m_{E}}(D_{E}) tel que :

(i) Pour chaque 1 ⩽ i ⩽ l, l’idempotent Ψ(e^{i}) est égal à :

I^{i} = diag(0, …, Id_{n_{i}}, …, 0),

où la matrice identité Id_{n_{i}} ∈ M_{n_{i}}(D_{E}) apparaît à la i-ième place.

(ii) L’ordre héréditaire Ψ(𝔅) est la sous-𝒪_{E}-algèbre de M_{m_{E}}(𝒪_{D_{E}}) constituée des matrices dont la réduction modulo 𝔭_{D_{E}} est triangulaire supérieure par blocs de taille (n_{1}, …, n_{l}).

Remarque 5.2. — Si (5.1) est subordonnée à 𝔅, alors l est égal à la période de 𝔅. Les I^{i} définissent une décomposition de D_{E}^{m_{E}} conforme à Ψ(𝔅), et l’ordre I^{i}Ψ(𝔅)I^{i} est un ordre maximal de M_{n_{i}}(D_{E}) égal à M_{n_{i}}(𝒪_{D_{E}}).

5.3. — On suppose désormais que la décomposition (5.1) est subordonnée à 𝔅. On note e la période de 𝔅.

Proposition 5.3. — (i) On a des décompositions d’Iwahori :

J_{P}^{1} = (H^{1} ∩ N^{−}) · (J^{1} ∩ M) · (J^{1} ∩ N),
H_{P}^{1} = (H^{1} ∩ N^{−}) · (H^{1} ∩ M) · (J^{1} ∩ N).

(ii) On a des isomorphismes de groupes :

J_{P}^{1}/H_{P}^{1} ≃ J^{1} ∩ M/H^{1} ∩ M ≃ ∏_{i=1}^{e} J^{1}(β, 𝔄^{i})/H^{1}(β, 𝔄^{i}).

(iii) L’application (x, y) ↦ θ_{P}([x, y]) définit un espace symplectique non dégénéré (J_{P}^{1}/H_{P}^{1}, k_{θ_{P}}) isomorphe à la somme directe des espaces symplectiques (J^{1}(β, 𝔄^{i})/H^{1}(β, 𝔄^{i}), k_{θ^{i}}), où θ^{i} est le transfert de θ à 𝒞 (𝔄^{i}, 0, β).

Démonstration. — Voir [7, Proposition 7.2.3]. Cela découle des décompositions d’Iwahori existant pour J^{1} et H^{1}, du théorème 2.17 et enfin de la proposition 2.31.

Proposition 5.4. — On a I_{G}(θ_{P}) = J_{P}^{1}B^{×}J_{P}^{1}.

Démonstration. — Il suffit de vérifier que I_{G}(θ_{P}) contient B^{×}. Soit :

(5.2)  V = W^{1} ⊕ … ⊕ W^{l_{0}}

une décomposition de V en E⊗_{F}D-modules simples, qui soit plus fine que (5.1) et conforme à 𝔄. Soit M_{0} ⊂ M le stabilisateur de (5.2) et soit P_{0} = M_{0}N_{0} un sous-groupe parabolique de sous-groupe de Levi M_{0} et contenu dans P. Alors :

U = (U(𝔅) ∩ P_{0})U_{1}(𝔅)

est un sous-groupe d’Iwahori de B^{×}. Puisque P_{0} est inclus P, le groupe U est inclus dans (U(𝔅) ∩ P)J_{P}^{1}, qui normalise θ_{P}. D’après la décomposition de Bruhat de B^{×} en doubles classes modulo U, il suffit donc de montrer que tout élément du normalisateur de M_{0} dans B^{×} entrelace θ_{P}. Soit donc y dans ce normalisateur. Le groupe H_{P}^{1} a des décompositions d’Iwahori relativement à (M_{0}, P_{0}) et à (M_{0}, P_{0}^{y}). Le groupe H_{P}^{1} ∩ yH_{P}^{1}y^{−1} admet donc lui-même une décomposition d’Iwahori relativement à (M_{0}, P_{0}). Puisque θ_{P} est trivial sur H_{P}^{1} ∩ N_{0} et sur H_{P}^{1} ∩ N_{0}^{y}, chacun des deux caractères θ_{P} et ^{y}θ_{P} est trivial sur H_{P}^{1} ∩yH_{P}^{1}y^{−1} ∩N_{0}. On a un résultat analogue pour le radical unipotent opposé N_{0}^{−}. Il reste donc à vérifier que y entrelace :

θ_{P|H_{P}^{1}∩M_{0}} = θ_{|H^{1}∩M_{0}},

ce qui est le cas puisque y entrelace θ.

5.4. — On rappelle (cf. [15, §2.2]) qu’il existe une représentation irréductible η de J^{1}, unique à isomorphisme près, dont la restriction à H^{1} contient θ. Elle est normalisée par (𝔎(𝔄) ∩ B^{×})J, son entrelacement vaut I_{G}(η) = J^{1}B^{×}J^{1} et, pour tout y ∈ B^{×}, on a dim Hom_{J^{1}∩(J^{1})^{y}}(η, η^{y}) = 1.

Proposition 5.5. — Il existe une représentation irréductible η_{P} de J_{P}^{1}, unique à isomorphisme près, dont la restriction à H_{P}^{1} contient θ_{P}. En outre :

(i) Les représentations Ind_{J_{P}^{1}}^{J^{1}}(η_{P}) et η sont isomorphes.

(ii) Pour tout y ∈ B^{×}, il existe une unique (J_{P}^{1}, J_{P}^{1})-double classe dans J^{1}yJ^{1} entrelaçant η_{P} et dim Hom_{J_{P}^{1}∩J_{P}^{1y}}(η_{P}, η_{P}^{y}) = 1.

Remarque 5.6. — En particulier, on a I_{G}(η_{P}) = J_{P}^{1}B^{×}J_{P}^{1}.

Démonstration. — Pour le point (i), l’argument est identique à celui utilisé pour [7, Proposition 7.2.4]. Pour le (ii), voir [7, Corollary 4.1.5].

Remarque 5.7. — Les propositions 5.3 à 5.5 sont valables pour une décomposition (5.1) quelconque, c’est-à-dire conforme mais pas nécessairement subordonnée. Il suffit, dans la propositions 5.3, de remplacer 𝔄^{i} par Λ^{i}, où Λ est une 𝒪_{D}-chaîne définissant 𝔄.

5.5. — On suppose que la décomposition (5.1) est subordonnée à 𝔅. On rappelle (cf. [15, §2.4]) qu’une β-extension de η est une représentation de J = J(β, 𝔄) prolongeant η dont l’entrelacement contient B^{×}. On pose :

J_{P} = H^{1}(β, 𝔄) (J(β, 𝔄) ∩ P) .

On fixe une β-extension κ de η et on note κ_{P} la représentation de J_{P} sur les (J ∩ N)-invariants de κ.

Proposition 5.8. — (i) On a I_{G}(κ_{P}) = J_{P}B^{×}J_{P}.

(ii) Les représentations Ind_{J_{P}}^{J}(κ_{P}) et κ sont isomorphes.

Démonstration. — Le point (ii) découle directement du fait que la restriction de κ_{P} à J_{P}^{1} est égale à η_{P}. Traitons le point (i). D’après (ii), pour chaque élément y ∈ B^{×}, il existe une unique double classe J_{P}xJ_{P} dans JyJ entrelaçant κ_{P}. Par décomposition d’Iwahori, on peut supposer que x appartient à :

(J ∩ N^{−})y(J ∩ N^{−}) = (J^{1} ∩ N^{−})y(J^{1} ∩ N^{−}),

donc à J^{1}yJ^{1}. Puisque κ_{P} prolonge η_{P}, l’élément x entrelace η_{P}. D’après les propositions 5.4 et 5.5, la double classe J_{P}^{1}yJ_{P}^{1} est la seule double classe dans J^{1}yJ^{1} qui entrelace η_{P}. Ainsi x ∈ J_{P}^{1}yJ_{P}^{1} et J_{P}xJ_{P} = J_{P}yJ_{P}, de sorte que y entrelace κ_{P}.

Remarque 5.9. — Si la décomposition (5.1) n’est pas subordonnée, les groupes U(𝔅) et J(β, 𝔄) n’admettent pas, en général, de décomposition d’Iwahori relativement à (M, P).

Proposition 5.10. — Soit ξ une représentation irréductible de J_{P} triviale sur J_{P}^{1}. On a I_{G}(κ_{P} ⊗ ξ) = J_{P}I_{B^{×}}(ξ)J_{P}.

Démonstration. — La preuve est analogue à celle de [7, Proposition 5.3.2]. Il suffit de remplacer [7, Proposition 5.1.8] par la proposition 5.5.

5.6. — Soit κ une β-extension de η et soit σ l’inflation à J d’une représentation irréductible du groupe J/J^{1}. On pose ϑ = κ ⊗ σ. Le quotient J/J^{1} est isomorphe à U(𝔅)/U_{1}(𝔅), qui est le groupe des points rationnels d’un groupe réductif sur le corps fini k_{D_{E}}.

Soit 𝔄′ un ordre héréditaire E-pur de A tel que l’intersection de 𝔅 avec l’ordre 𝔅′ = 𝔄′ ∩ B soit un ordre héréditaire. On note θ′ le transfert de θ à 𝒞 (𝔄′, 0, β) et η′ l’unique représentation irréductible de J^{1}(β, 𝔄′) contenant θ′. On rappelle comment, dans [16], on associe à 𝔄′ une β-extension κ′ de η′. En procédant comme dans [16, Proposition 4.5], on construit une famille finie :

(5.3)  (𝔄_{0}, …, 𝔄_{k}), k ⩾ 0,

d’ordres E-purs de A, avec 𝔄_{0} = 𝔄 et 𝔄_{k} = 𝔄′, et telle que pour tout 0 ⩽ i < k, l’ordre 𝔄_{i} ou bien contienne ou bien soit contenu dans 𝔄_{i+1}. (Il suffit de tracer, dans l’immeuble de Bruhat-Tits de G, le segment joignant 𝔄 et 𝔄′.) Soit θ_{i} le transfert de θ à 𝒞 (𝔄_{i}, 0, β) et soit η_{i} l’unique représentation irréductible de J^{1}(β, 𝔄_{i}) contenant θ_{i}. On définit par récurrence une famille finie :

(5.4)  (κ_{0}, …, κ_{k}), k ⩾ 0,

de β-extensions, en posant κ_{0} = κ et, pour 0 ⩽ i < k, en prenant pour κ_{i+1} l’unique β-extension de η_{i+1} qui soit cohérente avec κ_{i} au sens de [16, §2.4.4]. On pose enfin κ′ = κ_{k}.

Définition 5.11. — Une représentation ϑ′ de J(β, 𝔄′) est dite cohérente avec ϑ si elle est de la forme ϑ′ = κ′ ⊗ σ′, où σ′ est l’inflation à J(β, 𝔄′) d’une représentation irréductible de J(β, 𝔄′)/J^{1}(β, 𝔄′) telle que σ et σ′ s’entrelacent sur U(𝔅 ∩ 𝔅′).

Remarque 5.12. — (i) Par exemple, si 𝔅′ contient 𝔅, on peut considérer σ comme une représentation du sous-groupe parabolique U(𝔅)/U_{1}(𝔅′) de U(𝔅′)/U_{1}(𝔅′). La condition sur σ′ signifie alors que σ′ est l’inflation à J(β, 𝔄′) d’une composante irréductible de l’induite de σ à U(𝔅′)/U_{1}(𝔅′).

(ii) Si 𝔅′ est contenu dans 𝔅, la condition sur σ′ signifie que σ′ est l’inflation à J(β, 𝔄′) d’une composante irréductible de la restriction de σ à U(𝔅′)/U_{1}(𝔅).

Proposition 5.13. — Soit π une représentation irréductible de G contenant ϑ. Alors π contient une représentation ϑ′ de J(β, 𝔄′) cohérente avec ϑ.

Démonstration. — On procède en trois étapes.

(i) On considère d’abord le cas où 𝔄′ ou bien contient, ou bien est contenu dans 𝔄. La démonstration est analogue à celle de [7, Proposition 8.3.5] : voir op. cit. p.296. Il suffit de remplacer [7, (5.2.14)] par [15, Proposition 2.29] et [7, Proposition 5.3.2] par [16, Lemme 4.2]. Dans le cas où 𝔄′ est contenu dans 𝔄, on a même un résultat plus précis : on voit que toute représentation de J(β, 𝔄′) cohérente avec ϑ est contenue dans π.

(ii) On considère ensuite le cas où 𝔅′ ou bien contient, ou bien est contenu dans 𝔅. Dans ce cas, la famille (5.3) peut être choisie de telle sorte que 𝔄_{i} ∩ B = 𝔅 pour 0 ⩽ i ⩽ k − 1. On peut donc définir ϑ_{i} = κ_{i} ⊗ σ. Alors ϑ_{i} est l’unique représentation de J(β, 𝔄_{i}) cohérente avec ϑ. C’est même l’unique représentation de J(β, 𝔄_{i}) cohérente avec ϑ_{j} pour tout 0 ⩽ j ⩽ k − 1. En appliquant (i) successivement à chaque paire {𝔄_{i}, 𝔄_{i+1}} au lieu de {𝔄, 𝔄′}, on voit que π contient ϑ si et seulement si elle contient ϑ_{k−1}. En appliquant encore (i) avec 𝔄_{k−1} au lieu de 𝔄, on voit que π contient ϑ_{k−1} si et seulement si elle contient une représentation ϑ′ cohérente avec ϑ_{k−1}, ce qui est la même chose que d’être cohérente avec ϑ.

(iii) On considère enfin le cas général. Pour se ramener à (ii), on passe d’abord de 𝔅 à 𝔅 ∩ 𝔅′, de sorte que toute représentation de J(β, 𝔄 ∩ 𝔄′) cohérente avec ϑ est contenue dans π, puis on passe de 𝔅 ∩ 𝔅′ à 𝔅′, de sorte que π contient une représentation ϑ′ de J(β, 𝔄′) cohérente avec ϑ. Ceci termine la démonstration de la proposition 5.13.

Remarque 5.14. — En particulier, si π contient ϑ, alors π contient aussi ϑ′ = κ′ ⊗ σ pour tout ordre héréditaire E-pur 𝔄′ tel que 𝔄′ ∩ B = 𝔅.

5.7. — Soit π une représentation irréductible de G contenant un caractère simple d’un groupe H^{1} – c’est-à-dire qu’il existe un couple ([𝔄, n, 0, β], θ) constitué d’une strate simple et d’un caractère simple θ ∈ 𝒞 (𝔄, 0, β) tels que la restriction de π à H^{1}(β, 𝔄) contienne θ. Parmi ces couples, on en choisit un tel que l’ordre héréditaire 𝔄 soit minimal.

Soit η l’unique représentation irréductible de J^{1}(β, 𝔄) contenant θ. La restriction de π à J^{1}(β, 𝔄) contient donc η, et la restriction de π à J(β, 𝔄) contient une représentation de la forme ϑ = κ ⊗ σ, où κ est une β-extension de η et σ est l’inflation à J(β, 𝔄) d’une représentation irréductible de J(β, 𝔄)/J^{1}(β, 𝔄) ≃ U(𝔅)/U_{1}(𝔅), qu’on note encore σ.

Proposition 5.15. — Dans cette situation, σ est une représentation cuspidale de U(𝔅)/U_{1}(𝔅).

Démonstration. — Supposons que σ n’est pas une représentation cuspidale de 𝒢 = U(𝔅)/U_{1}(𝔅). Il existe donc un sous-groupe parabolique propre 𝒫 de 𝒢, de radical unipotent 𝒰 , tel que la restriction de σ à 𝒰 contienne le caractère trivial. Il existe donc une représentation σ′ de 𝒫/𝒰 telle que σ soit une composante irréductible de Ind_{𝒫}^{𝒢} (σ′). Il existe un unique ordre héréditaire 𝔅′ contenu dans 𝔅 tel que 𝒫 soit l’image de U(𝔅′) par l’application quotient U(𝔅) → 𝒢. Le radical unipotent 𝒰 est alors l’image de U_{1}(𝔅′). Par [15, Lemme 1.7], il existe un ordre héréditaire E-pur 𝔄′ contenu dans 𝔄 tel que 𝔄′ ∩ B = 𝔅′. Plus précisément, 𝔄′ est strictement contenu dans 𝔄, puisque 𝔅′ l’est dans 𝔅.

Soit θ′ le transfert de θ à 𝒞 (𝔄′, 0, β), soit η′ l’unique représentation irréductible de J^{1}(β, 𝔄′) contenant θ et soit κ′ la β-extension de η′ construite comme en (5.4). L’inflation à J(β, 𝔄′) de la représentation σ′ de :

𝒫/𝒰 ≃ U(𝔅′)/U_{1}(𝔅′) ≃ J(β, 𝔄′)/J^{1}(β, 𝔄′)

est encote notée σ′, et on pose ϑ′ = κ′⊗σ′. Nous sommes alors dans la situation du §5.6 et ϑ est cohérente avec ϑ′. Par la proposition 5.13, la représentation π contient donc aussi ϑ′ et a fortiori θ′. Puisque 𝔄′ est strictement inclus dans 𝔄, ceci contredit la minimalité de 𝔄.

5.8. — On continue avec les notations du paragraphe précédent — donc π contient une représentation de la forme ϑ = κ ⊗ σ avec σ cuspidale. Par la proposition 5.13 (voir aussi la remarque 5.14), on peut changer l’ordre hériditaire 𝔄 sans changer sa trace sur B. On peut donc supposer que :

(5.5)  𝔎(𝔄) ∩ B^{×} = 𝔎(𝔅).

Il suffit de choisir l’ordre hériditaire E-pur 𝔄 associé à 𝔅 par le théorème 1.7. (Dans la terminologie de Grabitz [10], un ordre principal E-pur 𝔄 vérifiant (5.5) est dit sound.)

Soit V = V^{1} ⊕ … ⊕ V^{e} une décomposition de V subordonnée à 𝔅. Soit M le sous-groupe de Levi de G qui est le stabilisateur de cette décomposition, et soit P = MN un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M. On a un isomorphisme de groupes :

J_{P} ∩ M ≃ ∏_{i=1}^{e} J(β, 𝔄_{i}).

Si on note θ_{i} la restriction de θ à H^{1}(β, 𝔄_{i}), c’est-à-dire le transfert de θ à 𝒞 (𝔄_{i}, 0, β), et η_{i} l’unique représentation irréductible de J^{1}(β, 𝔄_{i}) contenant θ_{i}, il existe pour chaque i une β-extension κ_{i} de η_{i} telle que la restriction de κ_{P} à J_{P} ∩ M soit équivalente à :

κ_{1} ⊗ … ⊗ κ_{e}.

(En effet, l’entrelacement de κ_{P|J_{P}∩M} contient B^{×} ∩ M.) De façon analogue, il existe, pour chaque entier i, une représentation σ_{i} de J(β, 𝔄_{i}) qui est l’inflation d’une représentation irréductible cuspidale de J(β, 𝔄_{i})/J^{1}(β, 𝔄_{i}) ≃ U(𝔅_{i})/U_{1}(𝔅_{i}) telle que la restriction de σ à J ∩ M soit équivalente à :

σ_{1} ⊗ … ⊗ σ_{e}.

Si on considère σ comme représentation de J_{P}/J_{P}^{1} ≃ J/J^{1}, on pose ϑ_{P} = κ_{P}⊗σ, qui est une représentation de J_{P}. Comme dans [7, Proposition 7.2.17], on a le résultat suivant.

Proposition 5.16. — (i) ϑ_{P} est irréductible et ϑ ≃ Ind_{J_{P}}^{J}(ϑ_{P}).

(ii) Les restrictions de ϑ_{P} à J_{P} ∩N et J_{P} ∩N^{−} sont triviales, et la restriction de ϑ_{P} à J_{P} ∩ M est équivalente à ϑ_{1} ⊗ … ⊗ ϑ_{e}, où ϑ_{i} = κ_{i} ⊗ σ_{i} est irréductible.

5.9. — On fixe une extension non ramifiée L/E maximale dans D_{E} et une uniformisante ϖ de D_{E} normalisant L. Le groupe de Galois de L/E est engendré par Ad(ϖ), l’automorphisme de conjugaison par ϖ. Par réduction, on identifie les groupes de Galois Gal(L/E) et Gal(k_{D_{E}}/k_{E}) et on note ϕ l’image de Ad(ϖ) dans Gal(k_{D_{E}}/k_{E}).

On fixe un isomorphisme de E-algèbres B ≃ M_{m_{E}}(D_{E}) vérifiant les conditions de la définition 5.1, dont on reprend les notations. Cet isomorphisme induit des isomorphismes de groupes B^{×} ≃ GL_{m_{E}}(D_{E}) et :

U(𝔅)/U^{1}(𝔅) ≃ GL_{n_{1}}(k_{D_{E}}) × … × GL_{n_{e}}(k_{D_{E}}).

De cette façon, le groupe Gal(k_{D_{E}}/k_{E}) opère sur les représentations de J/J^{1} ≃ U(𝔅)/U^{1}(𝔅), et notamment sur les σ_{i}.

5.10. — Dans ce paragraphe, on suppose que les σ_{i} ne sont pas tous dans une seule orbite sous Gal(k_{D_{E}}/k_{E}). Plus précisément, on note I l’ensemble des entiers 1 ⩽ i ⩽ e tels que σ_{i} soit équivalent à un conjugué de σ_{1} sous Gal(k_{D_{E}}/k_{E}), et on suppose que I n’est pas égal à {1, …, e} tout entier. On pose :

W = ⨁_{i∈I} V^{i}, W′ = ⨁_{i∉I} V^{i}.

Soit M′ le stabilisateur de la décomposition V = W ⊕ W′, qui est un sousgroupe de Levi de G, et soit P′ = M′N′ un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M′. Soit P = MN un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M tel que P ⊂ P′.

Proposition 5.17. — Dans cette situation, (J_{P}, ϑ_{P}) est une paire couvrante de (J_{P} ∩ M′, ϑ_{P}_{|J_{P}∩M′}).

Démonstration. — Nous allons d’abord majorer l’entrelacement de ϑ_{P}. Soit U le sous-groupe d’Iwahori de B^{×} contenu dans U(𝔅) s’identifiant au sous-groupe d’Iwahori standard de GL_{m_{E}}(D_{E}). Soit W̃ le groupe de Weyl affine généralisé de B^{×} ≃ GL_{m_{E}}(D_{E}), consistué des matrices monomiales dont les coefficients non nuls sont des puissances de ϖ. Par la décomposition de Bruhat, on a B^{×} = U(𝔅)W̃U(𝔅).

D’après [12, Proposition 1.2], l’élément w ∈ W̃ entrelace σ_{|U(𝔅)} si est seulement s’il normalise σ_{|U(𝔅)∩M}. D’après la construction de M′, ceci implique que w ∈ M′, donc I_{B^{×}}(σ_{|U(𝔅)}) est inclus dans U(𝔅)M′U(𝔅). En particulier, d’après le théorème 5.10, on a :

I_{G}(ϑ_{P}) = J_{P}I_{B×}(σ_{|U(𝔅)})J_{P} ⊂ J_{P}M′J_{P}.

Par la proposition 5.16, et comme N ⊃ N′, le couple (J_{P}, ϑ_{P}) est décomposé au dessus de (J_{P} ∩ M′, ϑ_{P}_{|J_{P}∩M′}). La fin de la démonstration est alors identique à celle de [9, Corollary 3.9(iii)].

Corollaire 5.18. — La représentation π de G n’est pas supercuspidale.

5.11. — Dans ce paragraphe, on traite le cas où chacun des σ_{i} est équivalent à un conjugué de σ_{1} sous Gal(k_{D_{E}}/k_{E}). En particulier, l’ordre 𝔅 est principal. D’après la proposition 5.16, la représentation ϑ_{P} determine, à permutation circulaire près, le vecteur :

V(J, ϑ) = (ϑ_{1}, …, ϑ_{e}) ,

où chaque ϑ_{i} est considéré comme une classe d’équivalence d’une représentation irréductible de J(β, 𝔄_{i}).

Proposition 5.19. — Soit τ une permutation de {1, …, e} et, pour chaque 1 ⩽ i ⩽ e, soit γ_{i} ∈ Gal(k_{D_{E}}/k_{E}). Alors π contient aussi une representation ϑ′ = κ ⊗ σ′ de J(β, 𝔄) telle que :

V(J, ϑ′) = (^{γ_{1}}ϑ_{τ(1)}, …,^{γ_{e}}ϑ_{τ(e)}) ,

où ^{γ_{i}}ϑ_{τ(i)} = κ_{τ(i)} ⊗^{γ_{i}}σ_{τ(i)} pour chaque 1 ⩽ i ⩽ e.

Démonstration. — Il suffit de considérer les deux cas particuliers suivants :

(i) D’abord, on suppose que V(J, ϑ′) = (^{ϕ}ϑ_{e}, ϑ_{1}, …, ϑ_{e−1}). On pose :

Π_{𝔅} = (\begin{matrix}& I_{m_{E}−1} \\ ϖ \end{matrix}) ∈ GL_{m_{E}}(D_{E}).

L’élément Π_{𝔅} normalise 𝔅 donc, par (5.5), il normalise également J(β, 𝔄) et la β-extension κ. En particulier, π contient la représentation ϑ′ = ϑ^{Π_{𝔅}} = κ⊗σ^{Π_{𝔅}}, et σ^{Π_{𝔅}} est équivalent à ^{ϕ}σ_{e} ⊗ σ_{1} ⊗ … ⊗ σ_{e−1}.

(ii) Ensuite, on suppose que :

V(J, ϑ′) = (ϑ_{1}, …, ϑ_{i−1}, ϑ_{i+1}, ϑ_{i}, ϑ_{i+2}, …, ϑ_{e})

et σ_{i} ≄ σ_{i+1}. Dans ce cas, la démonstration est identique à celle de [7, Proposition 8.3.4] (voir loc. cit. p.297), quitte à remplacer [7, Proposition 8.3.5] par la proposition 5.13. Ceci termine la preuve de la proposition 5.19.

D’après la proposition 5.19, on peut supposer que toutes les σ_{i} sont équivalentes. La paire (J(β, 𝔄), ϑ) est donc un type simple au sens de [16, §4.1].

Corollaire 5.20. — La représentation π est supercuspidale si et seulement si 𝔅 est un ordre maximal.

Démonstration. — D’après [16, Théorème 5.6], le type simple (J(β, 𝔄), ϑ) est un type pour une classe inertielle [M, ρ]_{G}, et le nombre de blocs du sous-groupe de Levi M est égal à la période de 𝔅. Ainsi π est supercuspidale si et seulement si M = G, c’est-à-dire si et seulement si 𝔅 est un ordre maximal.

5.12. — Le théorème suivant est le résultat principal de cette section — et de cet article.

Théorème 5.21. — Soit π une représentation irréductible supercuspidale de niveau non nul de G. Alors il existe un type simple maximal (J, λ) tel que la restriction de π à J contienne λ.

Démonstration. — D’après le théorème 4.1, la représentation π contient un caractère simple, c’est-à-dire qu’il existe une strate simple [𝔄, n, 0, β] et un caractère simple θ ∈ 𝒞 (β, 0, 𝔄) tels que la restriction de π à H^{1} = H^{1}(β, 𝔄) contienne θ. D’après le §5.7, pour une certaine choix de 𝔄 et de θ, la représentation π contient une représentation ϑ = κ ⊗ σ de J = J(β, 𝔄), où κ est une βextension de θ et σ l’inflation à J d’une représentation irréductible cuspidale de J/J^{1} ≃ U(𝔅)/U_{1}(𝔅). Comme dans le §5.8, on a :

σ_{|J∩M} = σ_{1} ⊗ … ⊗ σ_{e},

où e est la période de 𝔅. Puisque π est supercuspidale, les σ_{i} sont toutes conjuguées sous Gal(k_{D_{E}}/k_{E}) d’après le corollaire 5.18. D’après le corollaire 5.20, l’ordre 𝔅 est donc maximal et (J, ϑ) est un type simple maximal.

Corollaire 5.22. — (i) Il existe un prolongement Λ de λ à J̄ = N_{G}(λ) tel que π soit équivalente à l’induite compacte de Λ à G.

(ii) Le couple (J, λ) est un type pour la classe inertielle [G, π]_{G}.

Démonstration. — Il s’agit de [16, Théorème 5.2].

Le théorème suivant récapitule tout le travail effectué.

Théorème 5.23. — Soit 𝔰 = [G_{0}^{r}, π_{0}^{⊗r}]_{G} une classe inertielle simple de G, où r est un diviseur de m et π_{0} une représentation irréductible supercuspidale de G_{0} = GL_{m/r}(D). Il existe un type simple (J, λ) qui est un type pour 𝔰.

Démonstration. — Si π_{0} est de niveau zéro, il s’agit de [12, Theorem 5.5]. Sinon, il s’agit de [16, Théorème 5.6], conjointement avec le théorème 5.21.

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V. Sécherre, Institut de Mathématiques de Luminy, CNRS UMR 6206, Université de la Méditerranée, 163 avenue de Luminy, 13288 Marseille Cedex 09, France

E-mail : secherre@iml.univ-mrs.fr

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Kingdom • E-mail : Shaun.Stevens@uea.ac.uk